Algebra Superior, 21.10.99

Tarea num. 10

Para entregar el 26 de oct. 99

1. (a) Sea p un primo. Demuestra que \binom{p}{k} ≡ 0 (mod p), para todo 0 < k < p.

(b) Concluye de (a) que

(a + b)^{p} ≡ a^{p} + b^{p} (mod p),

para todo a, b ∈ ℕ, y mas general,

(a_{1} + a_{2} + … + a_{n})^{p} ≡ a_{1}^{p} + a_{2}^{p} + … + a_{n}^{p} (mod p),

para todo a_{1}, a_{2}, …, a_{n} ∈ ℕ. (Sugerencia: usar el binomio de Newton).

(c) Usa (b) para dar una demostración que n^{p} ≡ n para todo entero n (el “Pequeño Teorema de Fermat”).

2. Demostrar que si p es un primo entonces (p − 1)! ≡ −1 (mod p).

(Sugerencia: demuestra que se puede arreglar los p − 3 resíduos 2, 3, …, p − 2 en (p − 3)/2 pares {x, y} tal que xy ≡ 1 (mod p). Para eso vas a tener que demostrar que las únicas soluciónes de x^{2} ≡ 1 son x ≡ ±1.)

3. Sea n un entero > 1 y a un entero primo relativo a n.

(a) Demuestra que existe un entero positivo k tal que a^{k} ≡ 1 (mod n). (Sugerencia: en la clase dimos una demostración para el caso de n = 1000 y a = 3.)

(b) El mínimo entero positivo e que satisface a^{e} ≡ 1 (mod n) se llama el orden de a (mod n). Encuentra el orden de 3 modulo 4, 7 y 10.

(c) Demuestra que si a es de orden e, entonces e divide a todos los k > 0 que satisfacen a^{k} ≡ 1 (mod n). (Sugerencia: dividir a k entre e con resíduo r y demostrar que a^{r} ≡ 1 (mod n).)

4. (Opcional) Sea p un primo > 2. Un resíduo de orden p − 1 se llama una raíz primitiva (mod p). (Por ejemplo 2 es una raíz primitiva (mod 5).)

(a) Encuentra las raízes primitivas (mod 11).

(b) (Reto). Demuestra que hay ϕ(p − 1) raices primitivas (mod p).

(c) Sea g una raíz primitiva (mod p). Demuestra que para cualquier a distinto de 0 (mod p) existe único k, 0 ≤ k ≤ p − 1, tal que g^{k} ≡ a.

Llamemos a este k el indice de a respeto a g (mod p). Notación: k = ind_{g}(a).

(d) Demuestra las siguientes propiedades del indice:

i. ind_{g}(1) = 0. ii. ind_{g}(ab) = ind_{g}(a) + ind_{g}(b), para todo a, b distinto de 0 (mod p). iii. ind_{g}(a^{k}) = k · ind_{g}(a), para todo a distinto de 0 (mod p) y k ∈ ℤ. (Nota: a^{k}, para k negativo,

denota la inversa de a^{(−k)}.)