Algebra Superior, 28.10.99

Tarea núm. 11

Para entregar el 4 de nov. 99

1. Encontrar los últimos 3 dígitos de 3^{25000}, 7^{1610} y 9^{9999}.

(Sugerencia: calcular ϕ(1000).)

2. En un mazo de cartas hay 52 cartas, númeradas 1, 2, 3, …, 52. Un barajeo perfecto coloca las cartas en el orden 27, 1, 28, 2, …, 52, 26 (entrelazando una mitad del mazo con la otra).

(a) Demouestra que despues de suficiente número de barajeos perfectos las cartas regresan a su orden original.

(b) Encuentre el mínimo número de barajeos perfectos para que esto suceda.

(Sugerencia: sea C = {1, 2, …, 52} y define T : C → C de la manera siguiente: T (k) es la posición de la carta k depues de un barajeo perfecto. Por ejemplo T (27) = 1. Demuestra que T (k) ≡ 2k (mod 53). Ahora sea T^{n} = T ∘ T ∘ … ∘ T (n veces) y demuestra que despues de barajeos perfectos la carta k se encuentra en la posición T^{n}(k) ≡ 2^{n} · k (mod 53).)

3. Resolver los siguientes:

(a) 68x ≡ 13 (mod 19).

(b) 2^{691}x ≡ 11 (mod 9).

(c) 50x ≡ −21 (mod 33).

(d) 11x ≡ 25 (mod 12).