Algebra Superior, 11.11.99

Tarea num. 13

Para entregar el 18 de nov. 99

1. (a) ¿Qué número representa la fracción continua [2, 1, 2, 1, 2, 1, ⋯]?

(b) Calcula la expansión en fracción continua de \frac{1}{\sqrt{3}}.

2. Sean a_{0}, a_{1}, …, a_{n} y b_{0}, b_{1}, …, b_{n} enteros positivos. ¿Cuáles son las condiciones para que [a_{0}, a_{1}, ⋯, a_{n}] < [b_{0}, b_{1}, ⋯, b_{n}]?

3. ¿Qué relación hay entre [a_{0}, a_{1}] y [a_{1}, a_{0}]? ¿Y entre [\overline{a_{0}, a_{1}}] y [\overline{a_{1}, a_{0}}]? Generaliza.

4. Usa el “Lema” visto en clase para probar que si una fracción continua es periódica entonces es una raíz irracional de un polinomio de grado 2 (el recíproco es cierto, pero un poco más difícil de probar).

5. Sea ξ = [1, 1, 1, ⋯], y sea \frac{p_{n}}{q_{n}} el n-ésimo convergente. Prueba que q_{n} = x_{n} y p_{n} = x_{n+1} donde \{x_{n}\} es

la sucesión de Fibonacci

1, 1, 2, 3, 5, 8, …

definida recursivamente por x_{n+1} = x_{n} + x_{n−1}, n ≥ 1. Concluye que

\frac{x_{n+1}}{x_{n}} → \frac{1 + \sqrt{5}}{2}.

PILÓN: Calcula la expansión en fracción continua de e = ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n!}.