Algebra Superior, 25.11.99

Tarea num. 14

Para entregar el 2 de dic. 99

Referencia: el libro de Niven y Zuckerman, “An Introduction to the Theory of Numbers”, en reserva en la bibilioteca.

1. Encontrar a todos los números de Farey de orden n en el intervalo [0, 1] para n = 1, 2, …, 7, y marcarlos en el plano de coordenadas (la fracción a/b marcada como el punto (b, a).)

Recordando: Los números de Farey de orden n son todas las fracciones a/b con |b| ≤ n, ordenados en orden creciente.

2. (a) Sean a/b, a′/b′, a′′/b′′ tres números consecutivos de Farey de orden n. Demeustra que a′/b′ = (a + a′′)/(b + b′′).

(b) Encuentra una interpretación geométrica del último inciso. (Sugerencia: considera los tres puntos correspondientes en el plano).

3. (a) Sean a/b y a′/b′ dos fracciones tal que ab′ − ba′ = 1 y b, b′ > 0. Demuestra que a/b y a′/b′ estan en forma reducida (i.e. (a, b) = (a′, b′) = 1) y que son dos número consecutivos de Farey de orden n, donde n =max{b, b′}.

(b) Encuentra una interpretación geométrica del último inciso. (Sugrencia: considerar el area del paralelogramo cuyos vertices son (0, 0), (b, a), (b′, a′), (b + b′, a + a′).)

(c) Es cierto el converso del inciso (a)? i.e. que cualquier dos numeros consecutivos de Farey a/b y a′/b′ (en forma reducida) satisfacen ab′ − ba′ = 1?

4. Sea D_{n} = {r′ − r | r, r′ son dos números consecutivos de Farey de orden n }. Demuestra que

minD_{n} = \frac{1}{n(n − 1)}, maxD_{n} = \frac{1}{n}.

5. Demostrar que el número de números de Farey de orden n en el intervalo [0, 1] es 1 + ϕ(1) + ϕ(2) + … + ϕ(n).