Algebra Superior, 19.8.99

Tarea num. 3

1. En cada uno de los siguientes incisos definimos un conjunto A y una relación R ⊂ A × A. En cada caso hay que decidir si la relación es reflexiva, simétrica, o transitiva. En caso que la relación es de equivalencia (reflexiva, simétrica y transitiva) describir las clases de equivalencia [x] = {y ∈ A | (x, y) ∈ R}.

(a) A = ℚ, R = {(x, y) | x ≤ y}.

(b) A = ℤ, R = \{(d, n) | d ≠ 0, \frac{n}{d} ∈ ℤ\}.

(c) A = ℤ, R = \{(m, n) | \frac{m−n}{8} ∈ ℤ\}.

(d) A = ℚ, R = {(x, y) | x − y ∈ ℤ}.

(e) A = ℚ, R = {(x, y) | xy = 1}.

(f) A = ℝ × ℝ, R = {((x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})) | (x_{1})^{2} + (y_{1})^{2} = (x_{2})^{2} + (y_{2})^{2}}.

(g) A = todas las lineas en el plano, R = {(l_{1}, l_{2}) | l_{1} y l_{2} son paralelos }.

(h) Sea f : A → B qualquier función y R = {(x, y) ∈ A × A | f(x) = f(y)}.

2. Sean k, n ∈ ℤ, 0 ≤ k ≤ n. Definimos \binom{n}{k} := \frac{n!}{k!(n−k)!}.

(a) Calcular los números \binom{n}{k} para todo los k, n en el rango 0 ≤ k ≤ n ≤ 5, y arreglarlos en

el “triángulo de Pascal”:

\binom{0}{0}
\binom{1}{0}  \binom{1}{1}
\binom{2}{0}  \binom{2}{1}  \binom{2}{2}
\binom{3}{0}  \binom{3}{1}  \binom{3}{2}  \binom{3}{3}

⋮ etc.

(b) Demostrar que \binom{n}{k} = \binom{n−1}{k} + \binom{n−1}{k−1}, para todo 1 ≤ k ≤ n − 1, y interpretar en términos del triángulo de Pascal.

(c) Demostrar que \binom{n}{k} ∈ ℤ.

(d) Demostrar que para todo x, y ∈ ℚ, (x + y)^{n} = ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}x^{k}y^{n−k}.

(e) Sean k, n ∈ ℤ, 0 ≤ k ≤ n. Sea A un conjunto finito con n elementos y definimos P_{k}(A) := \{B ⊂ A | #B = k\}. Demostrar que #P_{k}(A) = \binom{n}{k}.

3. ^{∗} Invité 7 personas a una cena. Despues de acabar de introducirnos todos, pregunté a cada uno de mis 7 invitados con cuantas personas de los presentes apretó la mano. Resulta que obtuve 7 respuestas distintas y que todos apretaron la mano por lo menos una vez. ¿Con cuantas personas apreté yo la mano?