Algebra Superior, 2.9.99

Tarea núm. 5

Para entregar el 9 de sept 99

1. Sea p(x) = x^{3} − 3x^{2} + 1. Encuentra un polinomio q(x) de grado ≤ 2 y un número real c tales que p(x) = c + (x − 1)q(x).

(Sugerencia: ver el siguiente inciso).

2. Sea p(x) ∈ ℝ[x] un polinomio de grado ≤ n; i.e. p(x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + … + a_{n}x^{n} donde a_{0}, a_{1}, …, a_{n} son números reales. Demuestra que para cada x_{0} ∈ ℝ existe un polinomio q(x) ∈ ℝ[x] de grado ≤ n − 1 con coeficientes reales tal que p(x) = p(x_{0}) + (x − x_{0})q(x).

(Sugerencia: al sustituir x = y + x_{0} en la expresión para p(x) se obtiene un polinomio en y, digamos p(x) = c_{0} + c_{1}y + … + c_{n}y^{n} = c_{0} + y[Q(y)]; luego sustituir de regreso y = x − x_{0}.)

3. Demostrar que si un polinomio p(x) ∈ ℝ[x] tiene una infinidad de raices entonces p(x) = 0. (Nota: p(x) = 0 significa que todos sus coeficientes se anulan). En otras palabras, si p(x) ≠ 0 entonces el conjunto {a ∈ ℝ | p(a) = 0} es finito.

(Sugerencia: usar inducción sobre n. Para el paso de la inducción usar el inciso anterior: si p(x) tiene a los números x_{0}, x_{1}, … como raices, entonces p(x) = (x − x_{0})q(x) donde q(x) es un polinomio de grado ≤ n − 1 y tiene a los números x_{1}, x_{2}, … como raices.)

4. Sean p(x), q(x) ∈ ℝ[x] dos polinomios que satisfacen p(a) = q(a) para todo a ∈ ℝ. Demuestra que p(x) y q(x) tienen los mismos coeficientes, salvo posiblemente coeficientes que se anulan; es decir, si p(x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + … + a_{n}x^{n}, q(x) = b_{0} + b_{1}x + b_{2}x^{2} + … + b_{m}x^{m} y digamos m ≥ n, entonces a_{k} = b_{k} para 0 ≤ k ≤ n, y si m > n entonces b_{k} = 0 para n < k ≤ m.

(Sugerencia: aplicar el inciso anterior al polinomio p(x) − q(x).)