Algebra Superior, 9.9.99

Tarea num. 6

Para entregar el 23 de sept. 99

1. Sea b un número natural mayor que 1. Demuestra que para cualquier n ∈ ℕ existe una única sucesión finita x_{0}, x_{1}, …, x_{k}, tal que x_{i} ∈ {0, 1, 2, …, b − 1}, 0 ≤ i ≤ k, y

n = x_{k}b^{k} + x_{k−1}b^{k−1} + … + x_{1}b + x_{0}.

(Sugerencia: por inducción. Considera la sucesión aritmética infinita 0, b, 2b, 3b, …. Existe entonces un N ∈ ℕ tal que Nb ≤ n < (N + 1)b, i.e. n = Nb + x_{0}, donde x_{0} ∈ {0, 1, …, b − 1}. Aplica ahora la suposición de la inducción a N. No se te olvide la unicidad.)

Terminología: a la sucesión x_{k} x_{k−1} … x_{1} (sin comas) del último ejercicio se llama la representación (o el desarrollo) de n en la base b. A los x_{i} se llama los dígitos de la representación. Ejemplo: en la base b = 5 hay 5 dígitos: 0,1,2,3,4. Sea n un número cuyo representación en la base 10 es 122. ¿Cual es su representación en la base 5? Respuesta: 442, porque 122 = 4 · 5^{2} + 4 · 5^{1} + 2.

2. (a) Convertir las siguientes representaciones en la base 10 a las bases 2 y 3: 2, 10, 11, 100, 1000.

(b) Convertir las siguientes representaciones en la base 3 a las bases 2 y 10: 2, 10, 11, 100, 1000.

(c) Para escribir la representación de un número en la base 10 se necesita 100 dígitos (i.e. k = 99 en ejercicio 1). Sea k el número de dígitos necesarios para escribirlo en la base 2. Encuentra el mínimo y máximo posible valor de k.

(d) ¿Cuantas veces aparece el dígito 6 al escribir la lista de todos los números de 1 hasta 1999 en la base 10? y en la base 9?

3. ^{∗} (Opcional.) Sea b un entero mayor que 1 y r un número real en [0, 1) = {x ∈ ℝ | 0 ≤ x < 1}.

(a) Demuestra que existe una sucesión infinita y_{1}, y_{2}, y_{3}, … tal que y_{i} ∈ {0, 1, 2, …, b − 1}, ∀i ≥ 1, y

r = ∑_{i=1}^{∞} \frac{y_{i}}{b^{i}} = \frac{y_{1}}{b} + \frac{y_{2}}{b^{2}} + \frac{y_{3}}{b^{3}} + ….

(Sugerencia: demuetsra, por inducción, la existencia de una sucesión infinita I_{1}, I_{2}, … de intervalos, tal que para todo i ≥ 1 : (1) r ∈ I_{i}, (2) I_{i+1} ⊂ I_{i}, (3) I_{i} es de la forma [N_{i}/b^{i}, (N_{i} + 1)/b^{i}), N_{i} ∈ ℕ. Luego, y_{1} = N_{1}, N_{2} = bN_{1} + y_{2}, … etc. Otra suegrencia: considera las represenataciones en base b de la parte entera de los números rb^{i}, i = 1, 2, 3, ….

Terminología: a 0. y_{1} y_{2} y_{3} … se llama una representación de r en la base b.

(b) Demuestra que cada número real en [0, 1) tiene a lo mas dos representaciones en una base b y que los números r ∈ [0, 1) que tienen dos representaciones en una base b son exactamente los números racionales de la forma r = N/b^{k} < 1, donde N, k son números naturales ≥ 1 y N < b^{k}.

4. (a) Convertir las siguientes representaciones en la base 10 a las bases 2 y 3: 0.1, 0.01, 0.01333 ….

(b) Encontrar los primeros 5 dígitos en la representación de \sqrt{2} en la base 2.