Algebra Superior, 30.9.99.

Tarea No. 8 (Para entregar el 7 de Oct. 99)

En los primeros 3 problemas n es un entero mayor que 1.

1. (a) Demuestra que la relación “congruentes modulo n” es una relación de equivalencia sobre ℤ.

(b) Sea ℤ_{n} el conjunto de las clases de equivalencia de la relación “congruentes modulo n.” Demuestra

que #ℤ_{n} = n. (Sugerencia: considera la función {0, 1, 2, …, n} → ℤ_{n}, k ↦ [k].)

2. (a) Sea a un entero. Demuestra que existe un único r ∈ {0, 1, 2, …, n − 1} tal que a es de la forma nk + r, k ∈ ℤ.

Llamemos a este r “el resíduo de a (mod n).”

(b) Demuestra que el resíduo de a (mod n) es el único r ∈ {0, 1, 2, …, n − 1} tal que a ≡ r (mod n).

(c) Demuestra que dos enteros son congruentes (mod n) si y solo si tienen el mismo resíduo (mod n).

(d) Encuentra los resíduos de 1999, modulo 10, 1000, 3, 9 y 11.

3. (a) Sean a, a′, b, b′ ∈ ℤ tal que a ≡ a′ (mod n) y b ≡ b′ (mod n). Demuestra que a+b ≡ a′ +b′ (mod n),

ab ≡ a′b′ (mod n) y a^{k} ≡ (a′)^{k} (mod n), para todo entero k ≥ 0.

(b) Encontrar los últimos 3 dígitos de 1999^{1999}. (Sugerencia: Demuestra que los últimos 3 dígitos de un número, escrito en la base 10, se obtiene por su resíduo mod 1000. Luego usa el hecho 999 ≡ − 1 (mod 1000) en el inciso anterior.)

4. (a) Sea n un entero positivo cuyo desarrollo decimal es a_{k}a_{k−1} … a_{1}a_{0}; i.e., n = a_{k}10^{k} + a_{k−1}10^{k−1} +

… + a_{1}10 + a_{0}, con a_{0}, a_{1}, …, a_{k} ∈ {0, 1, 2, …, 9}. Demuestra que n ≡ a_{0} + a_{2} + … + a_{k} (mod 3).

(b) Decide si 24681097531 es divisible por 3, 9 o 11. (Sugerencia para 11: demuestra que n ≡ a_{0} −

a_{1} + a_{2} − … + (−1)^{k}a_{k} (mod 11).)

5. Resolver (i.e. encontrar todos los x que satisfacen las congruencias en cada caso, o demostrar que no hay solución):

(a) x + 3 ≡ 2 (mod 5).

(b) 3x ≡ 2 (mod 5).

(c) 3^{x} ≡ 2 (mod 5), x ≥ 0.

(d) x^{3} ≡ 2 (mod 5).

(e) 2x ≡ 3 (mod 5) y 3x ≡ 5 (mod 7).

(f) 3x ≡ − 1 (mod 1000).