Introducción a la Mecánica Clásica FAMAT, agst-dic 2000

Examen Parcial

25 de oct., 2000

1. Una partícula con masa m = 1 se mueve a lo largo del eje de x segun la ecuación de Newton ẍ = F (x), con fuerza F (x) = x(x^{2} − 1).

(a) Dibuja el campo vectorial F a lo largo del eje de x.

(b) Encuentra los puntos de equilibrio del sistema.

(c) Dibuja el retrato de fase de la ecuación en el plano de coordenadas (x, ẋ). (Es decir, hay que dibujar las curvas parametrizadas por (x(t), ẋ(t)), para todas las soluciones x(t) de ẍ = F (x), o un número suficiente de ellas para tener idea clara de como se ve el retrato).

(d) Encuentra todas las condiciones iniciales (x(0), ẋ(0)) para los cuales el movimiento es periódico.

(e) (opcional) Encuentra el límite del periódo del movimiento cuando la condicion inicial (x(0), ẋ(0)) → (0, 0).

2. (a) Define: v es un campo vectorial en un abierto U ⊂ ℝ^{n}.

(b) Define: el flujo de un campo vectorial.

(c) Demuestra: el flujo de un campo vectorial lineal en ℝ^{n} es lineal.

(d) Define: v es un campo vectorial conservativo en un abierto U ⊂ ℝ^{n}.

(e) Decide si el campo vectorial en ℝ^{2} menos el origen, dado por v(x_{1}, x_{2}) = (x_{2}, −x_{1})/(x_{1}^{2}+

x_{2}^{2}), es conservativo.

3. Demuestra que todos las órbitas elípticas del sistema de Kepler con el mismo valor de la energía tienen el mismo semi-eje mayor. (El sistema de Kepler: r̈ = −r/r^{3}, donde r(t) ∈ ℝ^{2}, r = ∥r∥. La energía: E = ∥ṙ∥^{2}/2 − 1/r.)