Introducción a la Mecánica Clásica FAMAT, agst-dic 2000

Proposición. Sea v un campo vectorial continuo en un abierto U ⊂ R^{n}, x(t) una solución a la ecuación diferencial ẋ = v(x) y x_{0} ∈ U un punto tal que lim_{t→∞} x(t) = x_{0}. Entonces v(x_{0}) = 0.

Demostración. Por contradicción, suponemos que v_{0} := v(x_{0}) ≠ 0. Sea c = ∥v_{0}∥/2.

(a) Por la continuidad de v, existe un δ > 0 tal que ∥v(x) − v_{0}∥ < c para todo ∥x − x_{0}∥ < δ.

(b) Por el hecho que lim_{t→∞} x(t) = x_{0}, existe un T > 0 tal que ∥x(t) − x_{0}∥ < δ para todo t ≥ T.

(c) Sea h(s) = x(T + s) − x(T). Tenemos que para todo s ≥ 0,

∥h(s)∥ ≤ ∥x(T + s) − x_{0}∥ + ∥x(T) − x_{0}∥ ≤ 2c.

(d) Usando

h(s) − sv_{0} = ∫_{T}^{T +s}(ẋ(t) − v_{0})dt = ∫_{T}^{T +s}(v(x(t)) − v_{0})dt,

tenemos que

∥h(s) − sv_{0}∥ ≤ ∫_{T}^{T +s} ∥v(x(t)) − v_{0}∥dt ≤ ∫_{T}^{T +s} cdt = cs,

así que

∥h(s)∥ ≥ ∥sv_{0}∥ − ∥h(s) − sv_{0}∥ ≥ 2sc − cs = cs.

(e) Para s > 2 obtenemos contradicción entre (c) y (d). QED