Introducción a la Mecánica Clásica, agosto-diciembre 2000

Tarea no. 1

1. Una partícula se mueve en el plano segun la fórmula (x(t), y(t)) = (2 cos πt, 2 sin πt).

(a) Encuentra su posición cuando t = 1/2.

(b) Encuentra todos los tiempos t cuando se encuentra en (2, 0).

(c) Dibuja la trayectoria de la partícula en el plano (i.e. el conjunto {(x(t), y(t)) | t ∈ R}).

(d) Encuentra y dibuja los vectores de velocidad y acceleración de la partícula al pasar por el punto (2, 0).

(e) Dibuja los vectores de velocidad y acceleración de la partícula a lo largo de su trayectoria.

(f) ¿Es periódico su movimiento? En caso que sí, encuentra el periodo de su movimiento.

(g) Repetir los puntos anteriores con (x(t), y(t)) = (2 cosh t, 2 sinh t). (Recordando: cosh t = (e^{t}+e^{−t})/2, sinh t = (e^{t} − e^{−t})/2.)

2. Una partícula con masa m = 1 se mueve a lo largo del eje de x segun la ecuación de Newton ẍ = F (x), con fuerza F (x) = −2x (oscilador harmónico) y las condiciones iniciales x(0) = 0, ẋ(0) = 1.

(a) Dibuja el campo vectorial F a lo largo del eje de x.

(b) Dibuja la gráfica de x(t).

(c) ¿Es periódico su movimiento? En caso que sí, encuentra el periodo de su movimiento (i.e. el mínimo tiempo T > 0 que le toma volver a su posición y velocidad inicial).

(d) Dibujar en el plano de coordenadas (x, y) la trayectoria parametrizada por (x, y) = (x(t), ẋ(t)).

(e) Calcula las energía cinética T = (ẋ)^{2}/2 y potencial V = x^{2}/2 (como funciones del tiempo t) y dibuja sus gráficas. Dibuja las dos gráficas encimadas y verifique la ley de conservación de energía, E = T + V = constante.

(f) Dibuja el retrato de fase de la ecuación. (Es decir, hay que dibujar curvas como en el inciso (d), para todas condiciones iniciales posibles, o un número suficiente de ellas para tener idea clara de como se ve el retrato).

(g) Repetir los incisos anteriores con F (x) = 2x (equilibrio inestable).

3. Dibujar los campos vectoriales de fuerza F a lo largo del eje de x definidos por los siguientes ecuaciones de Newton ẍ = F (en particular, encontrar los puntos de equilibrio {x|F (x) = 0}):

(a) ẍ = −1 (piedra que se cae).

(b) ẍ = −1/x^{2}, x > 0 (aterizaje duro).

(c) ẍ = − sin x (péndulo).

(d) ẍ = x(x^{2} − 1).

4. ¿Cuales de las ecuaciones del problema anterior puedes dibujar su retrato de fase?