Introducción a la Mecánica Clásica, agosto-diciembre 2000

Tarea no. 2

(para entregar el 29 de agosto)

Definición. Sea U ⊂ R^{n} un abierto y v : U → R^{n} un campo vectorial en U. Define el flujo de v como la familia de mapas ϕ_{t} : U → U, t ∈ R, definidas de la manera siguiente: para un x_{0} ∈ U, ϕ_{t}(x_{0}) = x(t), donde x(t) es la solución a la ecuación diferencial ẋ = v(x) con x(0) = x_{0}. (Nota: en general, ϕ_{t}(x) no está definido para todo los t y x.)

1. Encuentra los flujos de los campos vectoriales en R^{2} dados por v_{1}(x, y) = (−y, x) y v_{2}(x, y) = (y, x).

2. Demuestra que ϕ_{0}(x) = x y (ϕ_{t_{1}} ∘ ϕ_{t_{2}})(x) = ϕ_{t_{1}+t_{2}}(x), para todos los t_{1}, t_{2} ∈ R y x ∈ U para los cuales la ecuación está definida. (Esto se llama “la propiedad de grupo” del flujo).

3. Demuestra que el flujo de un campo vectorial lineal en R^{n} es lineal.

4. A una ecuación de Newton mẍ = F (x) le asociamos el campo vectorial en R^{2}, v(x, y) = (y, F (x)/m). Demuestra que el flujo de este campo es el flujo fase de la ecuación de Newton, i.e. ϕ_{t}(x_{0}, y_{0}) = (x(t), ẋ(t)), donde x(t) es la solución de mẍ = F (x) con x(0) = x_{0}, ẋ(0) = y_{0}.

5. Sea A(t) una matriz de n por n de funciones de t, tal que A(0) es la matriz de la identidad. Demuestra que la derivada de la función det(A(t)) en t = 0 es la traza (suma de los elementos en la diagonal) de la derivada de A en t = 0.

6. Para un campo vectorial v = (v_{1}, …, v_{n}) en U ⊂ R^{n} define su divergencia por divv = ∑_{i} ∂v_{i}/∂x_{i} (es una función U → R). Demuestra que si divv = 0 entonces el flujo de v preserva volumen (área, si n = 2); es decir, para todo subconjunto (digamos abierto) A ⊂ U de volumen finito, vol(ϕ_{t}(A)) = vol(A), para todo t ∈ R tal que ϕ_{t} está definido en A.

(Sugerencias: segun la fórmula de cambio de variable en la integral, vol(ϕ_{t}(A)) = ∫_{ϕ_{t}(A)} d^{n}x = ∫_{A} det(Dϕ_{t})d^{n}x así que es suficiente demostrar que det(Dϕ_{t}) ≡ 1. Como ϕ_{0}(x) = x, es sufieciente demostrar que \frac{∂}{∂t}det(Dϕ_{t}) = 0. Demuestra esto primero para t = 0 usando A(t) = Dϕ_{t} en el ejercisio anterior. Para un t general usa la propiedad de grupo del flujo y la regla de la cadena.)

7. Demuestra que el flujo fase de la ecuación de Newton preserva área.