Introducción a la Mecánica Clásica FAMAT, agst-dic 2000

Tarea no. 3

(para entregar el martes, 5 de sept.)

1. Encuentra la “velocidad de escape” desde la superficie de la tierra. Es decir, considera la ecuación diferencial ẍ = −k/x^{2}, con condición inicial x(0) = 6000 km (el radio de la tierra), con el valor de k que corresponde a nuestra experiencia de acelaración sobre la superficie de la tierra (10 m/sec^{2}) y determine el mínimo valor de ẋ(0) necesario para que la solución x(t) “nunca regrese”, x(t) > x(0) para todo t > 0.

(Los siguientes problemas son del libro de Arnold, sección 2C y D).

2. Sea A(E) el área dentro de una curva de fase cerrada que corresponde a nivel de energía E de la ecuación de Newton ẍ = −dV/dx. Demuestra que el periodo de movimiento a lo largo de esta trayectoria es igual a dA/dE.

3. Sea V (x) la función de potencial de un sistema mecánico en el eje de x y x_{0} un punto mínimo no degenerado de V, i.e. V′(x_{0}) = 0 y V′′(x_{0}) > 0. Sea E_{0} = V (x_{0}). Demuestra que el periodo T_{0} = lim_{E→E_{0}} T (E) de “oscilaciones pequeñas” en vecindad de x_{0} está dado por 2π/\sqrt{V′′(x_{0})}.

4. Demeustra que el flujo fase ϕ_{t}(x) del sistema mecánico a lo largo del eje de x con la energía potencial V (x) = −x^{4} no está bien definido para todo t y x. (ver la tarea anterior para la definción del “flujo fase”.)

5. Demuestra que si la energía potencial es positiva, V (x) > 0, entocnes el flujo fase del sistema mecánico correspondiente está bien definido para todo t y x (i.e. las soluciones x(t) de la ecuación ẍ = −dV/dx se extienden para todo t ∈ R). (Sugerencia: usar la conservación de energía para estudiar la solución.)