Introducción a la Mecánica Clásica FAMAT, agst-dic 2000

Tarea no. 4

(para entregar el martes, 19 de sept.)

1. Demostrar la Ley de Conservación de Energía para las soluciónes de la ecuación de Newton mẍ = −∇V (x), en donde x(t) ∈ R^{n}, V : R^{n} → R y la energía está dada por

E(x, ẋ) = \frac{m}{2}∥ẋ∥^{2} + V (x).

2. Demostrar que grad(1/r) = x/r^{3}, donde x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ R^{n} y r = ∥x∥ = \sqrt{x_{1}^{2} + … + x_{n}^{2}}. En otras palabras, −1/r es un potencial para el sistema de Kepler ẍ = −x/∥x∥^{3}.

3. Escribir la ecuación de Newton ẍ = −grad(V), x ∈ R^{2}, en coordenadas polares (r, θ) en el plano, donde V = V (r) es un potencial de fuerza central (e.g. V = −1/r para el sistema de Kepler).

4. (Arnold, 2.5C) Considera la ecuación de Newton en R^{n}, ẍ = −∇V (x), con V (x) = \frac{1}{2} ∑_{i=1}^{n} x_{i}^{2}. Demuestra que la superficie de nivel para un nivel de energía E_{0} > 0 es una esfera en R^{2n}, y que las curvas de fase con energía E_{0} son “círculos grandes” sobre esta esfera (intersección de la esfera con un plan 2-dimensional que pasa por su centro).

5. (Arnold, 2.6B) Decide si el campo de fuerza F en R^{2} menos el origen, dado por F = (x_{2}, −x_{1})/(x_{1}^{2} + x_{2}^{2}), es conservativo.

6. Demuestra que el campo central, i.e. un campo de la forma F (x) = f(∥x∥)x, donde f : (0, ∞) → R es una función suave, es un campo conservativo en R^{n} menos el origen y encuentra un potencial para F.