Introducción a la Mecánica Clásica FAMAT, agst-dic 2000

Tarea no. 7

(para entregar el martes, 31 de oct.)

1. Escribir la ecuación de Newton ẍ = −grad(V), x ∈ ℝ^{2}, en coordenadas polares (r, θ) en el plano, donde V = V (r) es un potencial de fuerza central (e.g. V = −1/r para el sistema de Kepler), usando el formalismo Lagrangiano.

Es decir, hay que escribir el Lagrangiano L = T − V del sistema en coordenadas polares, y luego escribir las ecuaciones de Eueler-Lagrange

\frac{∂L}{∂x_{i}} = \frac{d}{dt} (\frac{∂L}{∂ẋ_{i}} ) ,

i = 1, 2, donde x_{1} = r, x_{2} = θ.

2. Demuestra, usando el cálculo de variaciones, que las curvas mas cortas (mínima longitud) entre dos puntos dados en el plano son las lineas rectas. Sugerencia: la longitud de la gráfica de una función y = f(x), x_{0} ≤ x ≤ x_{1}, está dada por ∫_{x_{0}}^{x_{1}} \sqrt{1 + [f′(x)]^{2}}.

3. Encuentra, usando el cálculo de variaciones, la “resbaladía mas rápida” entre dos puntos dados; es decir, dados dos puntos en un plano vertical, encuentra una curva que los conecta, tal que una masa que empieza (con velocidad cero) en el punto mas alto y se mueve a lo largo de esta curva sin fricción y bajo la influencia de gravedad, llega al otro punto en el mínimo tiempo posible.

4. Una cuerda delgada y flexible con longitud L y densidad de masa uniforma está amarada entre dos puntos de la misma altura y con separacion D. Usando el cálculo de variaciones, encuentra la forma que toma la cuerda suponiendo que está es la que tiene el centro de gravedad mas bajo posible (entre todas las formas posibles).