CALCULO 2

Luis Hernández L.

julio, 2000

0.1 Evaluación del curso:

• 3 exámenes parciales (podían tirar la peor de las tres calificaciones): 55%

• 11 tareas (semanales): 10% .

• Examen final: 35% .

0.2

El curso consistió de tres sesiones de hora y media, semanalmente. Cada semana, una de las sesiones de hora y media se dedicó a la resolución de los problemas de la tarea de la semana anterior. Esta sesión funcionó peor que el primer semestre (muchos alumnos no asistían a ella)

Mi impresión es que los estudiantes tuvieron (en general) menos dificultades con este curso que con el de Cálculo I, quizás porque el material es más sencillo o quizás porque ya estaban acostumbrados al ritmo de trabajo.

Los temas de este curso que causaron más dificultad a los alumnos fueron las definiciones y teoremas de integral de Riemann (i.e. def. de función integrable, “toda función continua es integrable”, etc) y aquellos de convergencia uniforme de sucesiones de funciones (e.g. “Weierstrass M-Test”, etc), teoremas sobre series de potencias y noción de función analítica.

0.3 Referencias principales

Calculus, M. Spivak. Calculus with analytic geometry, G. F. Simmons.

0.4 Temario

A continuación resumo el material visto en clase. Todos los teoremas enunciados fueron probados (salvo en los que se indique lo contrario).

1. Áreas, Teoremas de Arquimedes e Hipócrates, teorema de Fermat (calcula área bajo la curva x^{r}, r ∈ ℚ).

2. Integral de Riemann: definición de función integrable e integral, ejemplos, “f continua ⇒ integrable”, aritmética de las integrales, desigualdad de Cauchy-Schwartz.

3. El teorema fundamental del cálculo: primer y segundo teoremas fundamentales del cálculo, primeras aplicaciones al cálculo de integrales, derivada de funciones tipo f(x) = ∫_{g(x)}^{h(x)} u(t) dt.

4. Funciones trigonométricas: definición de π(= área del disco unidad), definción formal de sin x y cos x, otras funciones ytrigonométricas y sus inversas, caracterización de sin x y cos x como soluciones de y′′ + y = 0.

5. π es irracional, fórmula de Vieta.

6. Prueba de la integral para series.

7. El logaritmo y la exponencial: definición formal de log x(= ∫_{1}^{x} 1/t dt), propiedades de log x, gráfica, definición de exp como la inversa de log, definición de e, a^{x} para a > 0 y x ∈ ℝ, leyes de los exponentes, derivada de a^{x}, gráficas, caracterización de e^{x} via y′ = y, algunos límites importantes (e.g. lim_{x→∞}(1 + 1/x)^{x}), e^{−1/x^{2}}, cosh y sinh.

8. Aplicaciones: problemas de crecimiento de población, ley de enfriamiento de Newton, radioactividad.

9. Métodos de integración: por partes, cambio de variable, trigonométricas (aplicación: producto de Wallis), racionales (fracciones parciales), sustitución trigonométrica, completando cuadrado, muchos ejemplos, función Gama.

10. Funciones que no pueden integrarse por métodos elementales: teoremas (sin demostración) de Liouville y Chebyshev.

11. Integración numérica: método del trapecio y de Simpson, estimación del error en teérminos de |f^{(2)}| y |f^{(4)}| resp. Cálculos usando Mathematica.

12. Aplicaciones de la integral: área entre curvas, longitud de gráficas, volumen y área de un sólido de revolución, volúmenes via integración de área de secciones transversales (e.g. volumen de elipsoide, tetraedro, etc).

13. Teorema de Taylor: aproximación mediante polinomios, polinomio de Taylor, Teorema de Taylor, aplicaciones tipo “calcula \sqrt{e} con un error menor a 10^{−3}”, “calcula ∫_{0}^{1} e^{−x^{2}} dx con error menor que 10^{−4}, etc., polinomio de taylor de exp, log, sin, cos, arctan, etc. Binomio de Newton (1 + x)^{α} para α ∈ ℝ.

14. e no es algebraico.

15. Convergencia uniforme y series de potencias: convergencia uniforme vs puntual, convergencia uniforme e integración, convergencia uniforme y continuidad, convergencia uniforme y diferenciación, series de funciones, Weierstrass M-test, ejemplo de función continua que no es diferenciable en ningún sitio, series de potencias, convergencia, integración y diferenciación de series de potencias, serie de Taylor, unicidad, concepto de función analítica, ejemplo de e^{−1/x^{2}}, suma, producto, cociente y composición de series de potencias.

16. Temas extra: la serie de \frac{x}{e^{x}−1} y los números de Bernoulli, fórmula de Euler e^{iπ} + 1 = 0, la serie de Taylor de tan x, expansión de cot πx en fracciones parciales y la fórmula de Euler para ∑ \frac{1}{n^{2k}}. La catenaria: la ecuación diferencial que la determina y su solución. Breve introducción a las ecuaciones diferenciales.