CALCULO 1

Luis Hernández L.

26 enero, 2000

0.1 Evaluación del curso:

• 3 exámenes parciales (podían tirar la peor de las tres calificaciones): 55%

• 13 tareas (semanales): 15% .

• Examen final: 30% .

0.2

El curso consistió de tres sesiones de hora y media y una más de una hora, semanalmente; con esto me dió tiempo de hacer muchísimas cosas, todas las demostraciones que me dieron la gana junto con una tonelada de ejemplos. Cada semana, una de las sesiones de hora y media se dedicó a la resolución de los problemas de la tarea de la semana anterior. Esta sesión es buena idea, a pesar de que algunos estudiantes se mostraban bastante reacios a participar. Yo llevaba una lista conmigo y los iba pasando uno a uno durante el curso.

Yo tuve que modificar durante las primeras semanas de clase el plan que había hecho antes de comenzar. Planeé un curso más ingenieril y después me dí cuenta que los alumnos esperaban mucho más. Es verdad, sin embargo, que no fue fácil para todos.

Un problema real es que aún con el examen de admisión, los alumnos llegan con preparaciones muy disparejas.

Los temas de mi curso que causaron más dificultad a los alumnos fueron las partes más abstractas de límites y continuidad, así como sucesiones y series. Si volviese a dar este curso invertiría aún más tiempo en sucesiones y series y no vería series de potencias sino hasta el segundo curso.

0.3 Temario

A continuación resumo el material visto en clase. Todos los teoremas enunciados fueron probados, la única excepción fue la construcción (y unicidad), a partir de ℚ, de los números reales.

1. Los reales: ℕ, ℤ, ℚ, axiomas de los reales, axioma del supremo. Valor absoluto, intervalos.

2. El plano: ℝ^{2}. La ecuación de una recta, distancia.

3. Funciones: definición y ejemplos. Sumas, productos y composición de fuciones. Polinomios, funciones racionales, algebraicas, otras. sin y cos. Gráficas.

4. Interpretación geométrica del significado de derivada. Ejemplos.

5. Límites: Definición. Ejemplos. Unicidad. Aritmética de límites. Más ejemplos. Límites de funciones racionales en ±∞. lim_{x→0} sin x/x.

6. Continuidad: Definición. Ejemplos. Aritmética de funciones continuas. Composición. “Toda función continua sobre un intervalo cerrado es acotada”. “Toda función continua sobre un intervalo cerrado alcanza su max y min”. Teorema del valor intermedio. Teorema del punto fijo en [0, 1]. Otras aplicaciones.

7. Diferenciación: Definición de derivada. Recta tangente. Derivadas. Teoremas sobre suma, producto y cociente de derivadas. Ejemplos. Regla de la cadena.

8. Máximos y mínimos: Puntos críticos. Max y min local. Concavidad y puntos de inflexión.

9. Teorema del Valor Medio, Regla de L’Hopital, Teorema de Liouville (ejemplos de números no algebraicos).

10. Aplicaciones: Diferenciación implícita, problemas de máximos y mínimos, aplicaciones de regla de la cadena (problemas tipo: “Una bola de naftalina se evapora a una razón proporcional a su superficie. Muestra que su radio decrece a razón constante”, etc). Gráficas de funciones identificando dominio, max y min, puntos silla, puntos de inflexión, concavidad, intervalos donde crece o decrece, comportamiento al infinito, comportamiento cerca del complemento de su dominio, etc.

11. Funciones inversas: Teoremas de existencia para funciones continuas y diferenciables. Derivada de la inversa.

12. Sucesiones: Convergencia, teoremas entre sucesiones y continuidad, aritmética de sucesiones, “sucesión monótona y acotada converge”, ejemplos.

13. Series: Convergencia, series geométricas, criterios de convergencia: ∑ a_{n} converge, entonces a_{n} → 0; Comparación, razón y raíz. La serie armónica, p-series, definición de e; “e es irracional”; ejemplos; series alternantes.

14. Completez de ℝ: Sucesiones de cauchy, axioma del supremo, propiedad arquimediana, Bolzano-Weierstrass.

15. Series de potencias: radio e intervalo de convergencia, exp.