Seminario de Problemas e Investigacion 

Resumen de la Sesion de 29.5.2000
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1. Demostramos lo siguiente: si un cuadrangulo ciclico admite una 
trayectoria de billar cerrada de tipo abcd, entocnes el cuadrangulo contiene
el centro de su circulo circunscrito. 

En resumen, hemos completado la demostracion del siguiente teorema:

Un cuadrangulo convexo admite una trayectoria de billar cerrada 
de tipo abcd ssi es ciclico y contiene el centro de su circulo circunscrito. 

Corolario: para cualquier cuadrangulo convexo, el cuadrangulo formado
por los bisectores exteriores es ciclico y contiene el centro de su
circulo circunscrito.


2. Preguntamos: es cierto que para cualquier pentagono convexo, 
el pentagono formado por sus bisectores exteriores es ciclico? 

3. Acerca del problema de billar en un triangulo equilatero:
existe una trayectoria cerrada de longitud 5 (o sea la pelota pega 
en 5 paredes en cada periodo)?

4. Demostramos que no existe dos matrices A,B de n por n tal que 
tal que AB-BA=I (la matriz de identidad). La idea: la traza de una matriz
(la suma de los elemntos del diagonal) satiface traza(AB)=traza(BA). 
Asi que la traza de AB-BA se anula, mientras que la traza de I es n. 

5. Preguntamos: para cuales matrices C (de traza 0) existen A y B 
tal que AB-BA=C?

6. Preguntamos: demuestra que si N es una matriz nilpotente (N^k=0
para algun k) entonces I+N es invertible.