CIMAT, VIII Escuela de verano, 30 de julio - 12 de agosto 2001 Introducción a la Geometría de la Mecánica Clásica

Problemas 1 - 4

1. Una partícula se mueve en el plano según la fórmula (x, y) = (cos 2t, sen 2t).

(a) Encuenra su posición cuando t = π/4.

(b) Encuentra los tiempos t cuando se encuentra en (0, 1).

(c) Encuentra los vectores de velocidad y aceleración al pasar en (0, 1). Dibujar.

2. Una partícula con masa m = 1 se mueve a lo largo del eje de x según la ecuación de Newton mẍ = F (x), con fuerza F = −x.

(a) Dibuja a lo largo del eje de x el “campo de Fuerza F ”; i.e., pon arriba de cada punto del eje de x una flecha que representa a F (x).

(b) Dadas las condiciones iniciales x(0) = 1, ẋ(0) = 0, dibuja la gráfica de x como función del tiempo t.

(c) ¿Es periódico el movimiento del inciso anterior? En caso que sí, encuentra el periodo del movimiento (i.e. el tiempo que le toma volver a su posición y velocidad inicial).

(d) Dibujar en el plano de fase de la ecuación (el plano con coordenadas cartesianas (x, ẋ)) la curva parametrizada por (x(t), ẋ(t)).

(e) Repetir el incisos anterior con x(0) = 0, ẋ(0) = 2.

(f) Dibuja el retrato de fase de la ecuación; es decir, hay que dibujar curvas de fase como en los dos incisos anteriores, para todas las condiciones iniciales posibles, o un número suficiente de ellas para tener idea clara de cómo se ve el retrato.

3. Para una partícula de masa m que se mueve a lo largo del eje de x bajo la influencia de una fuerza F (x) se define su energía (como función de su posición y velocidad) por E = T + V donde la energía cinética T = m(ẋ)^{2}/2 y la energía potencial V (x) es una función que satisface F = −\frac{d}{dx}V. Demuestra que si la partícula se mueve según la ecuación de Newton mẍ = F (x) entonces su energía E se mantiene constante en el tiempo (la Ley de Conservación de Energía).

Sugerencia: calcula \frac{d}{dt}E(x(t), ẋ(t)) usando la regla de la cadena.

4. Dibujar el retrato de fase de las siguientes ecuaciones:

(a) ẍ = −2x (oscilador armónico).

(b) ẍ = x (equilibrio inestable).

(c) ẍ = −sen x (péndulo).

(d) ẍ = −1 (piedra que se cae).

(e) ẍ = −1/x^{2} (aterrizaje duro).