CIMAT, VIII Escuela de verano, 30 de julio - 10 de agosto 2001 Introducción a la Geometría de la Mecánica Clásica

Problemas 13 - 19

13. Demuestra que un campo central, i.e. un campo vectorial de la forma F(x) = f(r)x, donde r = ∥x∥ y f : (0, ∞) → R es una función suave, es un campo conservativo en R^{n} menos el origen y encuentra un potencial para F.

14. Escribir la ecuación de Newton ẍ = −grad(V), x ∈ R^{2}, en coordenadas polares (r, θ) en el plano, donde V = V (r) es un potencial de fuerza central, usando el formalismo Lagrangiano.

Es decir, hay que escribir el Lagrangiano L = T − V del sistema en coordenadas polares, y luego escribir las ecuaciones de Euler-Lagrange

\frac{d}{dt} (\frac{∂L}{∂q̇_{i}} ) = \frac{∂L}{∂q_{i}} , i = 1, 2,

donde q_{1} = r, q_{2} = θ.

15. Analisar el movimiento de los siguientes ejemplos de sistemas mecánicos:

(a) Un palo ligero (=sin masa) de longitud fija l y dos masas m_{1} y m_{2} en sus extremos, moviéndose en un plano vertical, bajo la influencia de la fuerza de gravedad F(x, y) = (0, −g).

Sugerencia: es un sistema con tres grados de libertad, así que tienes que definir tres coordenadas (q_{1}, q_{2}, q_{3}) que describen la posición del palo, luego escribir el Lagrangiano del sistema L = T − V en términos de (q_{1}, q_{2}, q_{3}, q̇_{1}, q̇_{2}, q̇_{3}), luego escribir las ecuaciones de Euler-Lagrange y resolverlas....

(b) Una masa resbalando sobre una línea que pasa por el origen en R^{3}, forma un ángulo α con el eje de z (el eje vertical) y gira alrededor de este eje con velocidad angular ω. Tambien se supone que la masa está bajo la influencia de la gravedad.

(c) Un palo (delgado) de longitud l con distribución de masa uniforme moviendose en un plano vertical fijo bajo la influencia de gravedad.

NOTA: En los siguientes dos ejemplos, despues de escribir las ecuaciones de Euler-Lagrange uno se da cuenta que son complicadas… entonces sugiero linearizar el sistema alrededor de los puntos de equilibrio (¿cuantos hay en cada caso?), i.e. tomar la parte lineal en la expansión en la serie de Taylor de las ecuaciones de Euler-Lagrange alrededor de cada uno de los puntos de equilibrio. Una manera agradable de hacer esto es escribir las ecuaciones de Euler-Lagrange de la parte cuadrática de la serie de Taylor del Lagrangiano alrededor del punto de equilibrio en cuestión.

(d) Un “doble pendulo”, i.e. dos masas, m_{1} y m_{2}, la primera en el extremo de un péndulo de longitud l_{1}, la segunda en el extremo de un pendulo de longitud l_{2}, amarado a la primera masa.

(e) Pendulo esférico, i.e. un péndulo, en donde la masa se puede mover en cualquer dirección en R^{3}, sujeta a la restricción que su distancia al origen es fija. Tambien se supone que la masa está baja la influencia de la gravedad.

16. Sea E_{0} := {g : [0, 1] → R | g es diferenciable y g(0) = g(1) = 0}.

(a) Demuestra que E_{0} es un espacio vectorial de dimensión infinita.

(b) Sea f : [0, 1] → R una función continua tal que ∫_{0}^{1} f(x)g(x)dx = 0 para toda g ∈ E_{0}. Demuestra que f = 0.

Los siguientes 3 problemas son del libro de Arnold, capítulo 2.

17. Decide si el campo de fuerza F en R^{2} menos el origen, dado por F = (x_{2}, −x_{1})/(x_{1}^{2} +x_{2}^{2}), es conservativo.

18. Sea A(E) el área dentro de una curva de fase cerrada que corresponde a nivel de energía E de la ecuación de Newton ẍ = −dV/dx. Demuestra que el periodo de movimiento a lo largo de esta trayectoria es igual a dA/dE.

19. Sea V (x) la función de potencial para la ecuación de Newton ẍ = −dV/dx y x_{0} ∈ R un punto mínimo no degenerado de V, i.e. V′(x_{0}) = 0 y V′′(x_{0}) > 0. Sea E_{0} = V (x_{0}). Demuestra que el periodo de “oscilaciones pequeñas en vecindad de x_{0}” T_{0} = lim_{E→E_{0}} T (E) está dado por 2π/\sqrt{V′′(x_{0})}.