Licenciatura en matemáticas de la UG:

Topología Diferencial I: ago-dic 2020


  • Profesor: gil@cimat.mx , Gil Bor.
  • Horario: miercoles y viernes, de 12:30-13:50, en linea, en Google Meet
  • Dirigido a: estudiantes del 7mo semestre de la licenciatura en matemáticas de la UG (aunque están bienvenidos también estudiantes de otros semestres y del posgrado del Cimat).
  • Pre-requisitos: cursos de licenciatura de Cálculo vectorial (cálculo 3) y topología.

Contenido:


Desripción del curso:

Estudiamos cuestiones topológicas con herramienta de cálculo vectorial. El concepto básico es lo de variedad diferencial y funciones suaves entre variedades.

Un ejemplo (simple): todo polinomio de grado > 0 con coeficientes complejas tiene por lo menos una raíz (el 'teorema fundamental del álgebra').

Otro ejemplo (menos simple): existen en todo momento dado dos puntos antípodos sobre la tierra con la misma temperatura (el teorema de Borsuk-Ulam).

Temario tentativo: Básicamente los primeros dos capítulos de Guillemin y Pollack (ver la bibioliografía abajo).

  • Variedades y aplicaciones lisas: El tangente, el teorema de la función inversa e inmersiones, submersiones, transversalidad, estabilidad, Teorema de Sard y funciones de Morse, encajes de variedades en $\mathbb{R}^n$.

  • Transversalidad e intersección: Variedades con frontera, 1-variedades y algunas aplicaciones, transversalidad, teor’a de intersección mod 2, nómero de enrolamiento (winding) y el teorema de Jordan-Brouwer, el teorema de Borsuk-Ulam.

    Bibliografía:

    1. Guillemin y Pollack, Differential Topology. PDF

    2. Milnor, Topology from the differentiable viewpoint. PDF

    3. F. Werner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups.


    Calificación:

    Basada en tareas y proyectos presentados por los alumnos durante el curso y/o un examen final.

    Tarea:

    Se entrega por Google Classroom . Hacer la tarea es esencial para seguir el curso y digerir el material. La tarea aparece (típicamente) cada viernes, en la bitácora de esta página, para entregar antes de la clase del viernes siguiente.

    Bitácora

    Fecha Material  Tarea 
    19-21 ago Primeras definiciones y ejemplos
  • Notas de la clase del 19 ago 2020
  • Notas de la clase del 21 ago 2020
  • Tarea num 1, para el viernes 21 ago:
    pp. 5-7: 1,4,6.
    26-28 ago Espacio tangente, derivada
  • Notas de la clase del 26 ago 2020
  • Notas de la clase del 28 ago 2020
  • Tarea num 2, para el viernes 28 ago:
  • pp. 5-7: 12-14, 16-18.
  • Nota: en 18(b) debe ser $g(x)=f(x-a)f(b-x).$
  • Leer cap. 1, §2 y §3 (hasta pág. 18).
  • Entregar la tarea por Google Classroom (no por email).
  • Subir tambien la tarea 1 (de la semana pasada) al Google classroom.
  • 2-4 sept Teorema de funcion implicita
  • Notas de la clase del 2 sept 2020
  • Notas de la clase del 4 sept 2020
  • Tarea num 3, para el viernes 4 sept:
  • pp. 12-13: 8, 12.
  • pp. 18-19: 2,3,4,9.
  • Recomendación: hacer todos los problemas del libro, no solo los que se presenta.
  • Entregar la tarea por Google Classroom (no por email).
  • 9-11 sept Sumersiones, transversalidad
  • Notas de la clase del 9 sept 2020
  • Notas de la clase del 11 sept 2020
  • Tarea num 4, para el viernes 11 sept:
  • pp. 25-27: 1, 2, 6, 7, 8, 11.
  • Recomendación: hacer todos los problemas del libro, no solo los que se presenta.
  • Entregar la tarea por Google Classroom.
  • 16-18 sept Transversalidad y estabilidad.
  • Notas de la clase del 16 sept 2020
  • Notas de la clase del 18 sept 2020
  • Tarea num 5, para el viernes 18 sept:
  • pp. 32-33: 4-6, 8-10.
  • Leer y entender la sección de Homotopía y estabilidad, pp. 33-37.
  • Opcional (recomendado!): hacer todos los problemas de la sección de transversalidad.
  • 23-25 sept Homotopia.
  • Notas de la clase del 23 sept 2020
  • Notas de la clase del 25 sept 2020
  • Tarea num 6, para el viernes 25 sept:
  • pp. 37-39: 1, 2, 4, 5, 7-10.
  • Leer y entender la sección de Teorema de Sard, pp. 39-45.
  • 30 sept - 2 oct Teorema de Sard
  • Notas de la clase del 30 sept 2020
  • Notas de la clase del 7 oct 2020
  • Tarea num 7, para el viernes 2 oct:
  • pp. 45-48: 3,8,9,11,13,18,19,22.
  • Leer y entender el Teorema de encaje de Whiteney, pp. 48-54.
  • 7-16 oct Encaje de Whitney
  • Notas de la clase del 14 oct 2020
  • Notas de la clase del 16 oct 2020
  • Tarea num 8, para el viernes 16 oct:
  • pp. 54-56: 6, 7, 8, 14.
  • 21-23 oct Presentaciones de alumnos
    • Amaranta Martínez De La Rosa - Teorema de la Función Inversa Generalizado, caso no-compacto (ejercicio 1.8.14) | Presentacion
    • Jorge Antonio Zazueta Hernández - Inmersión de Whitney (ejercicio 1.8.10) | Presentacion
    • Jorge Valles - Teorema de Sard | Presentacion
    • Pablo Meré Hidalgo - ejercicio 1.8.10| Presentacion
    4-6 nov Teorema de Brouwer de punto fijo
  • Notas de la clase del 4 nov 2020
  • Tarea num 9, para el viernes 6 nov:
  • pp. 62-64: 7,8.
  • Opcional: dos problemas adicionales (a tu eleccion) de las subsecciones 2.1-2.2.
  • 11-13 nov Tranversalidad e interseccion
  • Notas de la clase del 11 nov 2020
  • Notas de la clase del 13 nov 2020
  • Tarea num 10, para el viernes 13 nov:
  • Tres problemas a tu eleccion de las paginas pp. 66-67: .
  • 18-20 nov Tranversalidad e interseccion
  • Notas de la clase del 18 nov 2020
  • Notas de la clase del 20 nov 2020
  • Sesion extra de clase: lunes 23 nov 1pm (discutir problemas 19,20 de la tarea 11).
  • Tarea num 11, para el viernes 20 nov:
  • Tres problemas "estrellados" a tu elección de las páginas pp. 74-77.
  • 25-27 nov Intersección mod 2
  • Buenas notas de clase basados en nuestro libro
  • Sugerencia: leer la seccion 4 del libro de Milnor.
  • Tarea num 12, para el viernes 27 nov:
  • Tres problemas "estrellados" a tu elección de las páginas pp. 82-85.