1. Espinors en una variedad Kahler.

Sea V un espacio vectorial complejo hermitiano. Para un v ∈ V define T_{v} ∈ End(Λ^{∗}V) por T_{v}ϕ = v ∧ ϕ. Lemma 1 : T_{v}T_{v}^{∗} + T_{v}^{∗}T_{v} = |v|^{2}I. (I es la identidad de Λ^{∗}V). Prueba : calcular, usando una base ortonormal cuyo primer vector es v/|v|. Comentario : El lemma queda cierto para V real euclideano, y eso implica que la accion v.ϕ = (T_{v} − T_{v}^{∗})ϕ satisface v.(v.ϕ) = −|v|^{2}ϕ, asi que se extiende a la algebra de Cliford Cl(V) sobre V, definiendo un isomrfismo natural con la algebra exterior Λ^{∗}(V), c ↦ c.1. Usando eso isomrfismo obetenemos la identidad v · w = v ∧ w − (v, w).

Sea ahora M^{2n} una variedad riemanniana con estructura casi compleja compatible, ie con una seccion J de End(T M) tal que J^{2} = −I, y J ortogonal. Eso da estructura hermitiana a T M, a Λ^{∗}M (la algebra exterior sobre T^{∗}M), a su complejoficacion Λ^{∗,∗}M etc.

Sea α ∈ Λ^{1}M ⊂ Λ^{1}M ⊗ C = Λ^{1,0}M ⊕ Λ^{0,1}M, α = α′ + α′′, α′ ∈ Λ^{1,0}M, α′′ ∈ Λ^{0,1}M, α′′ = ᾱ′ (α es real). Lemma 2 : |α| = \sqrt{2}|α′| = \sqrt{2}|α′′|. Prueba : Pitagoras.

Definimos ahora una accion de Λ^{1}M sobre Λ^{0,∗}M por

α.ϕ := \sqrt{2}(T_{α′′} − T_{α′′}^{∗})ϕ

. Lemma 3 : α.(α.ϕ) = −|α|^{2}ϕ. Prueba : Lemma 1+2.

Eso implica que Cl(M) (la algebra de cliford real sobre Λ^{1}M ≃ T M) actua sobre Λ^{0,∗}M. Extendemos esa accion linearmente (complejo) a la complejoficaccion de Cl(M):

(α + iβ).ϕ := (α.ϕ) + i(β.ϕ).

Lemma 4 : Con esa definicion la accion de un γ = γ′ + γ′′ ∈ Λ^{1}M ⊗ C esta dada por

γ.ϕ := \sqrt{2}(T_{γ′′} − T ∗ ; γ̄′)ϕ.

(la formula dada en la clase). Prueba : Los dos lados son complejos lineal en γ y coinciden para un γ real.

Ahora sea D el oprador de Dirac sobre Λ^{0,∗}M definido por esta accion y d = ∂ + ¯∂ la derivada exterior.

Lemma 5 : Si M es Kahler (J paralela), entonces D = \sqrt{2}(¯∂ + ¯∂^{∗}).

Prueba : D esta dado por la composicion (omito el M)

Γ(Λ^{0,∗}) ⟶ Γ(Λ^{1} ⊗ Λ^{0,∗}) ⟶ Γ(Λ^{0,∗}),

donde la primera flecha es derivada covariante ∇ y la segunda multiplicaccion de Cliford. La derivada exterior esta dada por la composicion

Γ(Λ^{∗}) ⟶ Γ(Λ^{1} ⊗ Λ^{∗}) ⟶ Γ(Λ^{∗}),

donde la primera flecha es derivada covariante y la segunda antisimetrizacion α ⊗ ϕ ↦ α ∧ ϕ = T_{α}ϕ. (Eso viene de la falta de torcion de la coneccion de Levi-Civita ∇). Por ser Kahler ∇ preserva a Λ^{0,∗} asi que ¯∂ esta dado por una composicion como la de D pero donde la segunda flecha esta dada por α ⊗ ϕ ↦ α′′ ∧ ϕ = T_{α′′}ϕ. Para probar el lemma hay que probar entonces que ¯∂^{∗} esta dado por composicion de ∇ por α ⊗ ϕ ↦ −T_{α′′}^{∗}ϕ. Para M = C^{n} con la metrica estandard es facil probar usando una base estandard, y por eso es cierto para cualquier variedad Kahler porque la identidad involucra solo primeras derivadas de la metrica, y M es isometrico holomoficamente a C^{n} hasta primer orden en la vecindad de cada punto. QED