Seminario de Monopolos, 23.5.95.

Compacticidad del espacio de soluciones de las ecuaciones de Seiberg-Witten.

Probamos aqui que si (A_{i}, ϕ_{i}) es una sucesion de soluciones de las ecuaciones de S-W, donde A_{i} son conecciones sobre el haz canonico L, y ϕ_{i} secciones de W_{+}, entonces es posible encontrar una subsucecion {j} ⊂ {i} y transformaciones de norma g_{j} : M → S^{1} tal que (g_{j}(A_{j}), g_{j}(ϕ_{j})) converge (en C^{∞}) a una solucion.

El punto esencial de la prueba es probar que cualquier solucion es equivalente por norma a otra solucion, que este

1) acotada apriori (ie con una cota independiente de la solucion), y que

2) satisface una ecuacion diferencial adicional (“norma de coulomb”). El resto es “estandard”: Una sucesion acotada posee una subsucesion convergente debilmente, y la adicion de la condicion “‘norma de coulomb” a los ecuaciones de S-W causa que los miembros de la sucesion satisfacen un sistema eliptica (no-lineal) de ecuaciones diferenciales. Usando desigualdades generales de la teoria de ecuaciones elipticas se puede mejorar la convergencia a C^{∞} (“bootstrapping”) y probar que el limite es una solucion tambien.

Empezamos entonces con puntos 1) y 2). Aclaramos primero el termino “acotado”. Queremos acotar la ϕ en C^{0}, ie como es una seccion de un haz vectorial hermitiano, acotamos uniformamente la norma cuadrada en cada punto de M. La connecion A queremos acotar en L^{2} (despues de transformarla por norma). Como conecciones no son secciones de un haz vectorial, definimos la distancia L^{2} entre dos coneciones A y A_{0} como la norma en L^{2} de la 1-forma A − A_{0} y para probar que un conjunto {A} esta acotado es suficiente entonces probar que las distancias ||A − A_{0}|| a una coneccion fija A_{0} estan acotadas.

Fijamos entonces una coneccion A_{0}, tomamos una solucion (A, ϕ) de la ecuaciones de S-W, y consideramos la descomposicion de Hodge de la 1-forma a := A − A_{0},

a = a_{e} + a_{h} + a_{e^{∗}},

donde a_{e} es la parte exacta (en la imagen de d), a_{h} la parte harmonica (en la interseccion de los kernels de d y d^{∗}), y a_{e^{∗}} la parte co-exacta (en la imagen de d^{∗}).

La accion de una transformacion de norma g sobre A = A_{0} + a esta dada por a ↦ a + g^{−1}dg. La 1-forma g^{−1}dg = d log(g) (localmente) esta cerrada asi que no afecta la tercera componente a_{e^{∗}}. La estrategia para acotar la solucion sera por los siguientes 4 pasos:

Paso I. Transformar por norma para acotar la parte harmonica a_{h}. Paso II. Transformar por norma para anhiquilar la parte exacta a_{e}. Paso III. Probar que la parte co-exacta a_{e^{∗}} esta acotada por la curvatura F_{A}. Paso IV. Usar una formula de Weizenbuck para soluciones de las ecuaciones de S-W para acotar la curvatura F_{A} y ϕ.

Despues de la transoformacion de norma de paso II la 1-forma a = A−A_{0} se vuelve cocerrada, d^{∗}a = 0, y se dice que A esta en “norma de Coulomb” (respecto a A_{0}). Notamos que solo en paso IV se usa las ecuaciones de S-W asi que es el punto esencial de la prueba.

Usamos ||.|| para denotar la norma en L^{2}.

I. Sea Harm^{1}(M) el espacio de 1-formas harmonicas en M, y Γ ⊂ Harm^{1}(M) el latice integral, corespondente a la imagen de H^{1}(M; Z) en H^{1}(M; R) (cohomologia de Cech) y los isomorfismos H^{1}(M; R) ≃ H_{DR}^{1}(M; R) ≃ Harm^{1}(M; R) definidos por el teorema de De-Rahm y la teoria de Hodge. Se sabe, por la formula universal de coeficientes, que H^{1}(M; R) = H^{1}(M; Z) ⊗_{Z} R, asi que el latice Γ es un latice de rango completo en Harm^{1}(M), ie, es isomorfo a Z^{k} ⊂ R^{k}, donde k es la dimension de Harm^{1}(M).

Lemma. La imagen de Maps(M; S^{1}) en Harm^{1}(M) por g ↦ (g^{−1}dg)_{h}/2πi es precisamente Γ.

Prueba. La sucesion exacta de grupos

0 → Z → R → S^{1} → 1

resulta en sucesion larga exacta de cohomologia de sheaves con coeficientes funciones suaves con valores en estos grupos, del cual sacamos la suryeccion

δ : Maps(M; S^{1}) = H^{0}(M; S^{1}) → H^{1}(M; Z) → 0.

La afirmacion se sigue de la comutatividad de

Maps(M, S^{1}) → H^{1}(M; Z)

Harm^{1}(M; R) → H^{1}(M; R)

Eso consiste en checar las definiciones de los mapeos. QED

Corolario. Usando una tranformacion de norma adecuada se puede tener la parte harmonica a_{h} acotada.

Prueba. Fijamos una base integral γ_{1}, …, γ_{k} para Harm^{1}(M; R). Segun el lemma, existe un g tal que (a+g^{−1}dg)_{h} = 2πiΣc_{i}γ_{i}, donde 0 ≤ c_{i} < 1. Concluimos que ||(a+g^{−1}dg)_{h}|| ≤ 2πΣ||γ_{i}||=const. .

II. Tomando g = e^{iu}, tenemos g^{−1}dg = idu, asi que se puede anhiquilar cualquir parte exacta.

III. Sea a = a_{e^{∗}} una forma co-exacta, a = Σa_{λ} su decomposicion ortogonal segun los eigen-espacios del Laplaciano Δ = dd^{∗} + d^{∗}d. Notamas lo siguiente:

1. Los operadored d y Δ comutan asi que d preserva la descomposicion en eigen-espacios de Δ, asi que da = Σda_{λ} es tambien decomposicion ortogonal.

2. λ = 0 no participa en la descomposicion porque a no tiene parte harmonica por ser co-exacta.

3. Para cualquir forma co-cerrada b (en particular co-exacta)

(Δb, b) = ||db||^{2} + ||d^{∗}b||^{2} = ||db||^{2}.

Ahora calculamos

||da||^{2} = Σ||da_{λ}||^{2} = Σ(Δa_{λ}, a_{λ}) = Σλ||a_{λ}||^{2} ≥ λ_{1}Σ||a_{λ}||^{2} = λ_{1}||a||^{2},

donde λ_{1} > 0 es el primer eigen-valor positivo.

Ahora F_{A} = F_{A_{0}+a} = F_{A_{0}} + da, y da = da_{e^{∗}}, asi que

\sqrt{λ_{1}}||a_{e^{∗}}|| ≤ ||da_{e^{∗}}|| = ||da|| ≤ ||F_{A}|| + ||F_{A_{0}}|| ≤ ||F_{A}|| + const.

IV. La formula de Weitzenböck para el operador de Dirac y la primera ecuacion de S-W implica

||ϕ||_{C^{0}} ≤ const.||s||_{C^{0}},

donde s es la curvatura escalar, y la segunda ecuacion de S-W implica que

|F^{+}| = const.|ϕ|^{2},

en cada punto (hecho en clase), asi que ||F^{+}|| y ||ϕ||_{C^{0}}|| estan acotadas. La diferencia ||F^{+}||^{2} − ||F^{−}||^{2} es una constante (multiple de c_{1}^{2}(L)) asi que ||F ||^{2} = ||F^{+}||^{2} + ||F^{−}||^{2} tambien esta acotada. Eso cumple los 2 puntos mencionados al principio.

Ahora a la parte “estandard”. Tenemos entonces una sucesion de soluciones (A_{i}, ϕ_{i}) (renombrados para no escribir las g_{i}) acotada en L^{2} y las ϕ_{i} aun acotadas en C^{0}, tal que las diferencias a_{i} = A_{i} − A_{0} con una coneccion fija A_{0} estan co-cerradas, d^{∗}a_{i} = 0. Eso implica que existe una sub-sucecion que converge, en la topologia L^{2}-debil. Tenemos ahora que mejorar la convergencia a C^{∞} y probar que el limite satisface las ecuaciones. Sea L_{k}^{2} el epsacio de funciones (secciones etc) cuyas derivadas hasta orden-k son cuadradamente integrables, y usamos ||.||_{k} para la norma en L_{k}^{2}. Vamos a probar por induccion que existe una subsucesion convergente en L_{k}^{2}, k = 1, 2, 3, …, y eso implica convergencia en C^{∞}. Para hacer eso usamos los siguientes hechos:

1. Para cualquier operador diferencial lineal eliptico de primer orden L, y funcion (seccion etc) suave s,

||s||_{k} ≤ const.(||Ls||_{k−1} + ||s||),

donde la constante depende de L y k pero no de s. Eso lo usamos para los operadores de Dirac D_{A} : Γ(W^{+}) → Γ(W^{−}), y d^{+} ⊕ d^{∗} : Λ^{1}(M) → Λ_{+}^{2}(M) ⊕ Λ^{0}(M), donde d^{+} es la composicion de la derivada exterior con la proyeccion a la parte autodual en Λ^{2}(M).

2. La inclucion L_{k}^{2} ⊂ L_{k−1}^{2} es compacta, ie si s_{i} → s en la topologia debil de L_{k}^{2}, entonces s_{i} → s en la topologia fuerte de L_{k−1}^{2}.

3. La multiplicacion de funciones L_{k}^{2} × L_{k}^{2} → L_{k−1}^{2} es continua, ie

||fg||_{k−1} ≤ const.||f||_{k} ||g||_{k}.

4. Hay una inclusion continua L_{k}^{2} ⊂ C^{r}, para r ≥ 0 fijo y k suficientamente grande, donde C^{r} es el espacio de funciones (secciones etc) con derivadas continuas hasta orden r, con la topologia de convergencia uniforma de todos las derivadas hasta orden r.

Comentarios.

1. En los 4 hechos, k = 1, 2, 3, ...., y la variedad debe ser compacta.

2. En hecho num. 3 la variedad tiene que ser de dimension 4.

3. En hecho num. 4, k > r + n/2 es suficiente, donde n es la dimension de la variedad.

Empezamos ahora con la induccion. Para simplificar la notacion, no escribo el indice i en A_{i}, a_{i}, etc.

\underline{k = 1}. Usando la elipticidad de d^{+} ⊕ d^{∗},

||a||_{1} ≤ const.(||F^{+}|| + ||a||),

(hecho num. 1), y usando la segunda ecuacion de S-W,

||F^{+}|| = const.||ϕ||^{2},

asi que a esta acotado en L_{1}^{2}.

Para la ϕ, usando la elipticidad de D_{A_{0}} = D_{A} − a, donde a actua por multiplicacion de Clifford, y la primera ecuacion de S-W,

||ϕ||_{1} ≤ const.(||aϕ|| + ||ϕ||) ≤ const.(||a|| ||ϕ||_{C^{0}} + ||ϕ||) ≤ const.

Concluimos que una subsucesion de las (A, ϕ) converge en L_{1}^{2} debilmente, y por eso en L^{2} fuertamente (hecho num. 2).

\underline{k = 2}. Esto es un poco mas dificil. Otra vez por la elipticidad de d^{+} ⊕ d^{∗},

||a||_{2} ≤ const.(||F^{+}||_{1} + ||a||).

Para acotar ||F^{+}||_{1}, tomando la derivada covariante de la segunda equacion de S-W, a cual ecribimos esquematicamente como

F^{+} = (ϕ, ϕ),

obtenemos

∇F^{+} = 2(∇ϕ, ϕ).

Ejercisio. Escribir la ultima ecuacion precisamente (no le he hecho).

Continuamos,

||∇F^{+}|| = 2||(∇ϕ, ϕ)|| ≤ const.||∇ϕ|| ||ϕ||_{C^{0}} ≤ const.||ϕ||_{1} ||ϕ|| ≤ const.,

asi que

||F^{+}||_{1} ≤ const.(||F^{+}|| + ||∇F^{+}||) ≤ const.

y ||a||_{2} esta acotado. Concluimos, como en el caso de k = 1, que una subsucecion de las A’s converge en L_{2}^{2} debilmente, y por eso en L_{1}^{2} fuertamente.

Para ϕ, usamos la elipticidad de D_{A_{0}} para obtener

||ϕ||_{2} ≤ const.(||aϕ||_{1} + ||ϕ||)

y (usando hecho num. 3 para k = 1 en la segunda desigualdad)

||∇(aϕ)|| ≤ ||(∇a)ϕ|| + ||a(∇ϕ)|| ≤ ||a||_{1}||ϕ||_{C^{0}} + ||a||_{1}||∇ϕ||_{1} ≤ const. + const.||a||_{1}||ϕ||_{2},

asi que

||ϕ||_{2} ≤ const. + const.||a||_{1} ||ϕ||_{2},

y re-areglando,

||ϕ||_{2}(1 − const.||a||_{1}) ≤ const.

Concluimos entoneces que podemos acotar ||ϕ||_{2} si la norma L_{1}^{2} de la diferencia a = A−A_{0} esta suficientamente pequeña. Para eso, movemos nuestro “origen” A_{0} a la coneccion limite A_{∞} = lim A, asi que en lugar de a = A − A_{0} tenemos

a′ = A − A_{∞} = (A − A_{0}) − (A_{∞} − A_{0}) = a − a_{∞},

donde a_{∞} = A_{∞} − A_{0}. Las a′ son todavia co-cerradas porque a_{∞} es co-cerrada como un limite (en L_{1}^{2}) de formas co-cerradas, y el operador d^{∗} es continuo respecto a la topologia L_{1}^{2}. Quitando las primas, podemos entonces suponer que las a’s son co-cerradas y que ||a||_{1} → 0, asi que ||ϕ||_{2} esta acotada tambien, y tenemos una subsucesion de las (A, ϕ) convergente en L_{1}^{2}.

\underline{k ≥ 3}. Ejercisio (No hay ideas nuevas).

Ahora que tenemos una subsusecion convergente en todos los L_{k}^{2} usamos hecho num. 4 para concluir convergencia en todos los C^{r}, ie convergencia en C^{∞}. La continuidad del lado isquierdo de las ecuaciones implica que el limite es una solucion tambien (convergencia de la sucecion en L_{1}^{2} es suficiente para eso). QED