Material

Los siguientes 10 problemas formaron el Examen de Práctica de Michoacán de la 5^a Olimpiada Mexicana de Matemáticas. Se aplicó en algunas preparatorias del Estado y no tuvo ningún valor oficial. El tiempo para resolverlo fue de 1:30 h. Los problemas fueron tomados del folleto Problemas de Olimpiadas, Primer Nivel, de José Joaquín Valderrama.

1. Alberto, Bernardo, Carlos, Daniel y Elena se entretienen con un juego en el que cada uno es una vaca o una foca. Las aseveraciones de las vacas son siempre verdaderas, mientras que las de las focas son falsas.

¿Quiénes son vacas?

2. Mientras hacía una serie de sumas en una calculadora, un estudiante notó que había sumado 35 095 en lugar de 35.95. Para poder obtener la suma correcta en un solo paso, ¿qué cantidad debe sumar o restar a su cuenta?

3. Un pueblo tiene 2500 habitantes, el 60% de los cuales votó en una elección para elegir presidente municipal. Los resultados fueron: De los votantes, el 38% votó por P, el 32% votó por Q y el 30% votó por R. ¿Cuántas personas votaron por P?

4. Calcular el valor de la siguiente operación:

5. Los enteros positivos se escriben en forma consecutiva en renglones de cinco números. Los renglones están numerados de tal manera que los números que aparecen en el renglón número 1 son: 1, 2, 3, 4, 5; los números escritos en el renglón número 2 son: 6, 7, 8, 9, 10, etc. ¿En qué número de renglón la suma de los elementos que aparecen en él es más cercana a 150?

6. ¿Cuál es el área en cm² de la región triangular de la figura si el área sombreada es 1 cm²?

7. Si hubo exactamente cuatro domingos en octubre de cierto año, ¿en qué días de la semana no pudo haber caído el 31 de octubre de ese año?

8. ¿Cuál es la diferencia entre el número mayor y el menor de la lista siguiente: 0.5, 0.505, 0.55, 0.5005?

9. Un cubo de arista 4 cm ha sido construido con cubos de arista 1 cm. ¿Cuántos cubos de arista 1  cm se encuentran cara a cara con exactamente 4 de los demás cubos?

10. En la figura, AY es perpendicular a BC y BX es perpendicular a AC. Si el ángulo ÐABC mide 50^o y el ángulo ÐBAC mide 60^o, ¿cuánto mide el ángulo ÐBTY?

Los siguientes 5 problemas formaron parte de la primera sesión del Examen Michoacano de la 5^a Olimpiada Mexicana de Matemáticas. Su duración fue de 3 h.

11. Hoy es sábado 21 de septiembre de 1991. ¿En qué día de la semana caerá el 21 de septiembre del año 2491? (Recuerda que 1992 será bisiesto y que lo mismo ocurrirá cada 4 años.)

12. Manteniendo todo el tiempo una abertura de 2 cm en un compás dibujemos una flor como sigue: Tracemos una circunferencia C. Con centro en cualquier punto de C tracemos un arco de circunferencia dentro de C hasta intersectar C con los dos extremos del arco. Después, con centro en cualquiera de esas intersecciones tracemos otro arco de circunferencia como el anterior; continuemos haciendo lo mismo hasta obtener la flor como en la figura. Calcula el perímetro de la flor.

13. Un costal está lleno de canicas de 20 colores distintos. Al azar se van sacando canicas del costal. ¿Cuál es el mínimo número de canicas que deben sacarse para poder garantizar que en la colección tomada habrá al menos 100 canicas del mismo color? [Problema propuesto por Alejandro Illanes Mejía.]

14. En un cuadrado ABCD de lado 1 está inscrito un triángulo DAEF de tal forma que E está sobre BC y F está sobre CD. Las longitudes de los lados AE y AF son iguales y son el doble de la longitud del lado EF. Calcula la longitud de EF. [Problema propuesto por Luis Manuel Rivera Gutiérrez.]

15. Un niño tiene fichas redondas (de 0.5 cm de diámetro) que pondrá sobre los cuadros blancos de una cuadrícula (de 0.5 cm de lado) coloreada como el tablero de ajedrez. Seguirá los siguientes pasos: En el primer paso colocará una ficha sobre un cuadro blanco. En el segundo paso pondrá fichas en todas las casillas blancas que rodean la ficha colocada en el primer paso. En cada uno de los siguientes pasos colocará fichas sobre todos los cuadros blancos que rodean las fichas puestas en el paso anterior. Para ilustrar, en la figura se han puesto los primeros cuatro pasos con un número dentro de las fichas según el paso en que fueron colocadas. Si el niño dispone de 5000 fichas (y la cuadrícula es tan grande como sea necesario), ¿para cuántos pasos completos le alcanzarán sus fichas?, ¿cuántas fichas le sobrarán después del último paso que pueda poner completo?