Material

Los siguientes 8 problemas formaron el Examen de Práctica de Michoacán de la 7ª Olimpiada Mexicana de Matemáticas. Se aplicó en algunas preparatorias del Estado y no tuvo ningún valor oficial. El tiempo para resolverlo fue de 1:00 h. Se calcula que 5000 alumnos de 1º y 2º años presentaron dicho examen, aunque la Escuela de Físico-Matemáticas de la Universidad sólo recibió el reporte de los resultados de alrededor de 2500. Se consideró que resolver correctamente 4 de los 8 problemas era una buena calificación para el tipo de examen de que se trataba por lo que se invitó de manera muy especial (aunque no exclusiva) a los alumnos que obtuvieron al menos 4 respuestas correctas y se publicó una lista con sus nombres y calificaciones. Para la aplicación de ese examen de práctica y su calificación se contó con la colaboración de algunos profesores de matemáticas de las mismas escuelas donde se aplicó el examen así como la alumna de la Escuela de Físico-Matemáticas Ma. Concepción Rojas Campanur, quien cubrió con este trabajo su servicio social.

1. ¿Para qué valor entero de n el número 2×10ⁿ está más cercano a [601.2/0.03]?

2. En un torneo de futbol hay 8 equipos. Cada equipo juega con cada uno de los demás exactamente una vez. ¿Cuántos partidos se juegan en todo el torneo?

3. Después de hacer un descuento de 20% una bicicleta cuesta N$1000. ¿Cuál es el precio original?

4. Si a y b son números positivos distintos que cumplen a² + b² = 4ab, hallar el valor de ([(a+b)/(a-b)])².

5. En un triángulo ABC, P es un punto sobre el lado BC que lo divide en la razón 2:1, y Q es un punto sobre el lado AC que lo divide en la razón 3:1 (ver figura (a)). Suponiendo que el área del triángulo ABC es 18 cm², ¿cuál es el área del triángulo APQ?

Figura (a)

6. En la figura (b) los ángulos ABC y DAC son rectos, los segmentos AC y AD son iguales y los segmentos BC y BA son iguales y cada uno de estos dos mide 3cm. Calcular el área del cuadrilátero ABCD.

7. En un triángulo equilátero de papel se doblan las tres esquinas hacia adentro de tal manera que los tres vértices queden justo en el centro del triángulo. Describir el contorno de la figura obtenida.

8. La suma de los 1993 elementos de un cierto conjunto de números es 19931993. Hallar el promedio de los elementos de ese conjunto.

Los siguientes 6 problemas constituyeron el examen de la 1^a Etapa del Concurso Michoacano de la 7^a Olimpiada Mexicana de Matemáticas. Su duración fue de 3 h.

9. En la figura (c) (abajo) se muestra un dibujo con las siguientes condiciones: El círculo C tiene centro O y su diámetro mide 3. Los segmentos AT y RS son diámetros perpendiculares del círculo. La recta L es tangente al círculo en el punto T; B es la intersección de la recta L con la recta AR. Calcular el área de la región sombreada (delimitada por los segmentos BR y BT y el arco de círculo de R a T.)

Figura (c)

10. Considera la sucesión de números a₁, a₂, a₃, ¼ que está definida por:

Calcula el producto a₁×a₂ ×a₃×¼×a₁₅ de los primeros 15 términos de la sucesión. [Escribe la respuesta en la forma [p/q] con p y q enteros.]

11. ¿Cuántos números enteros del 1 al 1993 (inclusive) al elevarlos a la vigésima potencia el resultado es un número terminado en 1? (En otras palabras, ¿para cuántos n la cifra de las unidades de n²⁰ es 1?)

12. En la figura (d) (abajo) está dibujada una estrella con las siguientes características: El círculo tiene centro O y radio 1; los puntos A, B, C, D, E, F, G y H están sobre la circunferencia y forman un octágono regular; P es la intersección de la recta AC con la recta BH y los puntos Q, R, S, T, U, V y W están construidos de manera similar (como las intersecciones de las rectas respectivas como se ve en la figura). Hallar el área de la estrella.

Figura (d)

13. Si c es un número entero positivo, llamemos P(c) al producto de las cifras de c (por ejemplo, P(414) = 16 y P(70) = 0). ¿Cuántos enteros positivos c menores que 100 000 satisfacen P(c) = 243?

14. En el plano se encuentran 10 conjuntos de rectas de manera que un conjunto tiene una recta, otro tiene dos rectas, otro tres y así sucesivamente hasta diez. Las rectas de cada uno de los diez conjuntos son paralelas entre sí pero no son paralelas a las de ninguno de demás conjuntos. Además entre todas las rectas no hay tres concurrentes (es decir, no hay tres rectas que pasen por un mismo punto). Calcula el número de puntos de intersección que tiene la colección completa de las rectas (cada dos rectas no paralelas determinan un punto de intersección).