Seminario de Probabilidad

A system in quantum mechanics is modeled by a state, i.e. a N dimensional with trace 1 positive semidefinite matrix where N is the number of possible values for an observable (e.g. momentum, level of energy). A transformation of such a system, after measurements for instance, is modeled by specific operators on matrices called quantum channels, preserving the set of states. These operators can be seen as the sum of tensor products of matrices. These matrices are called the Kraus operators of the quantum channel. As for Markov operators, we are interested in the spectral gap of the quantum channel which can be seen as a quantifier of the distance of the channel to a rank one projector, and one way to optimize the gap is to consider Haar distributed unitaries as Kraus operators. A way to prove that the second largest eigenvalue or singular value is optimal in the non-Hermitian case is to use Schwinger-Dyson equations previously used by Hastings in the Hermitian case.

En esta plática abordamos los juegos diferenciales estocásticos de suma cero introduciendo una regla de prioridad aleatoria $\lambda$ para gestionar la ventaja informativa entre los jugadores. El análisis se construye a partir de una aproximación discreta del juego sobre una partición temporal. Modelamos la dinámica mediante un sistema forward-backward (FBSDE) y, empleando un semigrupo particular, definimos la función de valor y establecemos su respectivo Principio de Programación Dinámica (DPP) en tiempo discreto. Finalmente, demostramos que la función de valor se caracteriza como la única solución en sentido de viscosidad de una ecuación de Hamilton-Jacobi-Isaacs (HJI) regida por un hamiltoniano intermedio $H^\lambda$.

Loosely speaking, a Markov chain is said to be integrable if there are simple, explicit formulas that describe the action of its transition matrix on a rich class of column vectors. These formulas usually arise from some underlying algebraic structure but allow one to study analytic properties of the chain.

In the first part of this talk, I will discuss some natural Markov chains on permutations and their integrability. We will see that this integrability allows one to effortlessly move into the limit, constructing a diffusion on the space of permutons, and then analyze various properties of this diffusion. In the second part, I will discuss how this entire operation can be generalized to arbitrary state spaces and a certain class of dynamics.

Estudiaremos matrices aleatorias cuyas entradas están organizadas de acuerdo con la representación regular de un grupo finito $G$, lo que da lugar a las llamadas matrices aleatorias $G$-circulantes. Analizando la distribución espectral de estas matrices, se pueden identificar condiciones bajo las cuales la distribución espectral empírica puede ser vista como la convolución aditiva libre de distribuciones más simples. Este marco establece una conexión natural entre matrices aleatorias con simetrías de grupo y conceptos de independencia libre. En particular, nuestros resultados principales muestran cómo al descomponer una matriz aleatoria $X$ con la estructura de matrices $G$-circulantes y bajo la hipótesis de que $X$ sea independiente libre de $M_{|G|\times|G|}(\mathbb{C})$, entonces la matriz $X^t$ puede verse como suma de matrices independientes libres.

El modelo de persecución y escape (chase-escape) es un proceso de crecimiento con competencia sobre una gráfica infinita en el que partículas rojas se propagan a sitios adyacentes vacantes, mientras que partículas azules capturan a las partículas rojas adyacentes y ocupan su lugar. Este modelo puede interpretarse como conejos que escapan de lobos, donde la gráfica representa la geometría del espacio.

En esta charla exploramos generalizaciones del proceso de persecución y escape. Estudiaremos sus transiciones de fase y propiedades de monotonía con diversas herramientas, incluyendo combinatoria analítica, percolación y procesos de ramificación.

En esta charla se hablará de la estructura estadística de los factores primos de una muestra armónica, es decir, de un entero aleatorio $H_n$ con ley proporcional a $1/k$ en $\{1,\dots,n\}$. El objetivo es describir el comportamiento asintótico de los factores primos distintos de $H_n$, ordenados por tamaño y normalizados por $\log n$.

El resultado principal muestra que la configuración de estos factores converge, en una distancia de tipo Wasserstein sobre sucesiones decrecientes, hacia una distribución de Poisson-Dirichlet condicionada por una restricción natural de masa. Además, se obtiene una cota cuantitativa para esta convergencia del orden $(\log\log n)^C/\log n$. La perspectiva de la propuesta combina varias ideas probabilísticas y aritméticas, tales como representaciones de la muestra armónica en términos de variables geométricas independientes condicionadas, mecanismos de poissonización, acoplamientos monótonos de procesos puntuales de Poisson y aproximaciones tipo Dickman para sumas aleatorias ponderadas. El resultado se enmarca en la interacción entre teoría probabilista de números, procesos puntuales y distribuciones de Poisson-Dirichlet.

En esta plática vamos a discutir sobre los cumulantes de la traza de polinomios evaluados en matrices aleatorias. Siempre y cuando el polinomio sea autoadjunto, esta traza va a tener un teorema del límite central, por lo que conocer la velocidad de convergencia es una pregunta de interés. Mediante el uso de cotas superiores para los cumulantes vamos a ser capaces de obtener desigualdades de concentración que nos van a hablar de la velocidad de convergencia. Este trabajo es conjunto con Zhigang Bao.

En esta charla continuamos el trabajo reciente de Wei-Kuo Chen, investigando propiedades de convexidad de la función generadora de momentos de una variable aleatoria que se obtiene como la imagen convexa de una gaussiana. Como consecuencia, obtenemos desigualdades de desviación precisas para tales variables aleatorias que se extienden a gaussianas de dimensión infinita. Exploramos aplicaciones en geometría cónica y convexa, así como en teoría de la información; en particular, establecemos que los volúmenes intrínsecos cónicos normalizados constituyen una distribución subgaussiana.

Presentamos una caracterización variacional de la convolución libre en términos de transporte óptimo con penalización entrópica. Mostramos que, para $z$ mayor que la suma de los supremos esenciales de $\mu$ y $\nu$,

$$\int_{-\infty}^{\infty}\log(z-x)\,(\mu\boxplus\nu)(dx)=\sup_{\Pi}\left\{\mathbb{E}_{\Pi}[\log(z-(X+Y))]-H(\Pi\mid\mu\otimes\nu)\right\},$$

donde el supremo se toma sobre todos los acoplamientos $\Pi$ de $\mu$ y $\nu$, y $H(\Pi\mid\mu\otimes\nu)$ denota la entropía relativa respecto a la medida producto.

Obtenemos fórmulas para la convolución libre multiplicativa y otras operaciones libres, recuperando las transformadas $R$ y $S$ como condiciones de optimalidad. Como aplicación, derivamos nuevas desigualdades que comparan convolución libre y clásica. El enfoque se basa en un principio de grandes desviaciones en el grupo simétrico y en las fórmulas de cuadratura de Marcus, Spielman y Srivastava. Trabajo conjunto con Samuel G. G. Johnston.

Consideramos funcionales aditivos (tiempo de ocupación) de sistemas de medidas aleatorias cuya configuración inicial está dada por un proceso puntual de Poisson, y cuyos componentes individuales evolucionan de manera independiente según dinámicas arbitrarias, markovianas o no markovianas, bajo supuestos básicos de cotas para los momentos. En este contexto y en condiciones adecuadas, usando el método de Stein, establecemos un teorema general del tercer momento para los funcionales normalizados. Se presentan algunos ejemplos. Trabajo conjunto con Arturo Jaramillo.

El movimiento browniano fraccionario (fBm) es un modelo clave en la teoría de procesos estocásticos, y su comportamiento depende fuertemente del parámetro de Hurst $H$. Cuando $H$ se acerca a cero, el proceso se vuelve mucho más irregular y muestra conexiones con campos log-correlacionados, lo que lo hace útil para describir fenómenos muy «rugosos» en áreas como las finanzas. En este trabajo se estudian los funcionales aditivos del fBm en ese régimen de $H$ pequeño, poniendo especial atención en los tiempos locales y sus fluctuaciones. Usando herramientas de procesos gaussianos y cálculo fraccionario, se analizan los límites de escala y las descomposiciones caóticas de estos funcionales. Los resultados ayudan a entender mejor cómo se comportan los sistemas estocásticos irregulares y cómo estas ideas pueden aplicarse en modelos reales.

Uno de los modelos más utilizados para describir la evolución de poblaciones es el de los árboles de Bienaymé-Galton-Watson. En la década de los noventa, Aldous demostró que, bajo ciertas hipótesis, al condicionar estos árboles a tener un tamaño fijo y hacer crecer dicho tamaño hasta el infinito, se obtiene en el límite un espacio métrico compacto conocido como el Continuum Random Tree.

En esta plática presentaremos una generalización de este resultado al caso de árboles de Bienaymé-Galton-Watson multitipo condicionados a ser grandes. En este modelo coexisten individuos de distintos tipos, cuya ley de reproducción depende precisamente de su tipo. Mostraremos cómo, bajo condiciones adecuadas, el límite puede describirse como un espacio métrico compacto al que denominamos el árbol de Lévy multitipo. Nuestra técnica es la primera en la que el objeto límite mantiene su estructura multitipo. Las técnicas empleadas se apoyan en la convergencia de espacios métricos de medida marcados, en un procedimiento iterativo de «pegado» de dichos espacios y en el uso de campos aditivos de Lévy espectralmente positivos para codificar los árboles.

Paul Lévy observó en 1948 que la envolvente convexa de un movimiento browniano plano no «tenía esquinas». Tras varias décadas de progreso en el entendimiento de este objeto aleatorio, y con muy limitado éxito en el caso Lévy, les presento los primeros resultados genéricos sobre las «esquinas» (y la diferenciabilidad) de las envolventes convexas de procesos de Lévy. Vagamente hablando, veremos que todos los procesos suficientemente simétricos y de actividad infinita tienen envolventes sin esquinas. Veremos que esta propiedad se preserva bajo transformaciones suaves (de la trayectoria y no de la envolvente), pero que la diferenciabilidad en general no se preserva.

Differential privacy (DP) quantifies the risks of sharing sensitive data. Information theoretically, a differentially private algorithm is a channel between data and output. Thus, DP guarantees can be understood as channel properties. This talk highlights such touchpoints between information theory and DP.

In this talk, we study point process convergence for sequences of random walks. First, we focus on point process convergence for sequences of i.i.d. random walks, with the objective of deriving asymptotic theory for the extremes of these random walks. We show convergence of the maximum random walk to the Gumbel or the Fréchet distributions. In particular, we show convergence of the maximum random walk to the Gumbel distribution under the existence of a $(2+\delta)$th moment. Then, we derive the joint convergence of the off-diagonal entries in sample covariance and correlation matrices of a high-dimensional sample whose dimension increases with the sample size.

La plática se dividirá en dos partes. En la primera, tendremos una visión panorámica de la criptografía clásica —simétrica y asimétrica— usando dos algoritmos actuales: AES y RSA; lo anterior para explicar por qué el algoritmo de Shor comprometió la criptografía asimétrica y propició que el NIST convocara a un concurso de criptografía postcuántica, donde uno de los ganadores fue CRYSTALS-Kyber. En la segunda parte, introduciré Kyber con el toque probabilístico necesario para agregar el ruido que lo vuelve difícil de descifrar, y presentaré su relación con la tasa de fallos de descifrado.

La utilidad de la riqueza de un inversionista es uno de los temas más relevantes en matemáticas financieras. En esta plática se aborda cómo maximizar la utilidad esperada de la riqueza de un inversionista al término de un periodo, la cual está sujeta a mantenerse por encima de un nivel dado en el peor de los casos de la inversión en un derivado. Asimismo, se discute cómo extender estos resultados a mercados incompletos.

We prove sharp anti-concentration results for real log-concave random variables. Our approach is elementary and uses majorization techniques to recover and extend results of Hensley (1980), Bobkov and Chistyakov (2015), Bobkov, Marsiglietti and Melbourne (2022), and Jakimiuk, Murawski, Nayar, and Slobodianiuk (2024). This talk is based on joint work with Tulio Gaxiola (Universidad Autónoma de Sinaloa), James Melbourne (CIMAT), and Vincent Pigno (CSU Sacramento).

An infinitesimal operator is one that models the relation between a large random matrix and a small finite rank matrix. I will present a theorem that explains how these operators are connected to the Markov-Krein transform. This is joint work with Pei-Lun Tseng (Taoyuan City, Taiwan).

Investigamos la predicción óptima del punto final de la dificultad financiera a largo plazo de una empresa, que se modela como el tiempo de última salida $\ell_r$. Más específicamente, $\ell_r$ representa el punto final derecho de la última excursión negativa con una duración superior a una constante $r>0$. Para un movimiento browniano con deriva $\mu>0$ y volatilidad $\sigma>0$, nuestro objetivo es identificar un tiempo de paro óptimo que minimice la distancia $L_1$ con respecto al tiempo de última salida $\ell_r$.

Encontramos que el tiempo de paro óptimo muestra dos estructuras distintas (una barrera constante o una barrera móvil caracterizada por la solución única de una ecuación integral) en función del cociente $R=\frac{\mu\sqrt{r}}{\sigma}$, que integra la rentabilidad financiera, la inestabilidad y la tolerancia al riesgo de la empresa ante la dificultad financiera. Para obtener el tiempo de paro óptimo, examinamos la condición de ajuste suave, la continuidad Lipschitz de la barrera y la regularidad de probabilidad de los puntos límite. Nuestros resultados implican que una empresa debería posponer el avance de sus planes estratégicos (por ejemplo, el pago de dividendos y la expansión del negocio) si presenta baja rentabilidad, alta inestabilidad y baja tolerancia a la insolvencia.

En esta plática presentaremos las caminatas cuánticas, concebidas como la generalización cuántica de las caminatas aleatorias. Expondremos algunas diferencias fundamentales entre las caminatas cuánticas y las aleatorias, y analizaremos las propiedades de las caminatas cuánticas en gráficas. Finalmente, abordaremos el fenómeno de la localización y su manifestación en ciertas gráficas infinitas denominadas spidernets, para lo cual emplearemos el método de descomposición cuántica en el análisis espectral de dichas estructuras.