Topología | José Luis León Medina

Temario

Mon, 10 Aug 2026 00:00:00 +0000

1. Espacios topológicos y construcciones

Espacios métricos y espacios topológicos.
Abiertos, cerrados, interior, clausura y puntos de acumulación.
Vecindades, bases y subbases.
Funciones continuas y homeomorfismos.
Subespacios, productos y coproductos.
Espacios cociente y mapas cociente.
Propiedad universal del cociente y lema de pegado.
Conexidad, conexidad por caminos y componentes.
Conexidad local y conexidad local por caminos.
Compacidad, compacidad local y separación de Hausdorff.
Resultados básicos sobre compactos, proyecciones y cocientes Hausdorff.

2. Homotopía y complejos CW

La categoría de espacios topológicos y las propiedades universales.
Pullbacks, pushouts y espacios de adjunción.
Homotopías y homotopías relativas.
La categoría homotópica y las equivalencias homotópicas.
Retractos, retractos por deformación y espacios contráctiles.
Cilindros de mapeo, conos y suspensiones.
Propiedad de extensión de homotopías y cofibraciones.
Celdas, esqueletos y mapas de pegado.
Topología débil y finitud de clausura.
Subcomplejos, pares CW y ejemplos fundamentales.

3. Grupo fundamental

Caminos y homotopía relativa a los extremos.
Grupoide fundamental y grupo fundamental.
Cambio de punto base y functorialidad.
Cálculo del grupo fundamental del círculo.
Grupos libres y grupos fundamentales de gráficas.
Teorema de Seifert-van Kampen.
Adjunción de celdas y presentaciones de grupos.
Cálculos para productos, superficies y espacios proyectivos.

4. Espacios cubrientes

Definición y ejemplos.
Levantamiento y unicidad de caminos.
Levantamiento de homotopías.
Homomorfismo inducido por una proyección cubriente.
Monodromía y acciones sobre la fibra.
Transformaciones de cubierta y cubrientes regulares.
Clasificación de cubrientes mediante subgrupos del grupo fundamental.
Cubriente universal.
Cubrientes de círculos, gráficas, toros, espacios proyectivos y superficies.

5. Homología singular y relativa

Complejos de cadenas, ciclos, fronteras y homología.
Simplejos singulares y operador frontera.
Homología singular y homología reducida.
Cálculo de $H_0$ y relación entre $H_1$ y el grupo fundamental.
Mapas inducidos, functorialidad e invariancia homotópica.
Homología de pares y sucesión exacta larga.
Excisión.
Sucesión de Mayer-Vietoris.
Cálculos para esferas, discos, cuñas y suspensiones.

6. Homología celular y aplicaciones

Filtración esquelética de un complejo CW.
Complejo de cadenas celulares.
Grado y diferencial celular.
Homología de gráficas, superficies y espacios proyectivos.
Característica de Euler.
Aplicaciones a retracciones y distinción de espacios.

Bibliografía

Referencias principales:
- Glen E. Bredon, Topology and Geometry.
- Allen Hatcher, Algebraic Topology.
- Holger Kammeyer, Introduction to Algebraic Topology.
Referencias adicionales:
- J. Peter May, A Concise Course in Algebraic Topology.
- Allen Hatcher, Notes on Introductory Point-Set Topology.
- James R. Munkres, Topology.
- Fidel Casarrubias Segura y Ángel Tamariz Mascarúa, Elementos de Topología de Conjuntos.
- Tammo tom Dieck, Algebraic Topology.
- James R. Munkres, Elements of Algebraic Topology.
- Joseph J. Rotman, An Introduction to Algebraic Topology.

Tareas

Mon, 10 Aug 2026 00:00:00 +0000

Tareas y fechas de entrega

Tarea	Fecha de entrega
Tarea 1	26 de agosto

Entrega

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Formato

Puede ser digital (LaTeX) o manuscrito digitalizado mediante una aplicación de escaneo; no se aceptarán fotografías sueltas o poco legibles.
La solución debe ser legible, ordenada y escrita con oraciones completas.
Justifique cada afirmación y cite los resultados utilizados. Una lista de cálculos sin explicación no constituye una demostración.

Entregas tardías

Penalización: −10% del puntaje total por día natural de retraso, hasta 3 días.
Después de 3 días no se acepta, salvo prórroga solicitada antes del vencimiento con justificación.

Colaboración e integridad

Se permite discutir ideas y estrategias con compañeros, pero la redacción y el desarrollo final de cada solución deben ser propios.
Si se utiliza una fuente externa, deberá citarse claramente. No se permite copiar soluciones de libros, sitios de internet u otras fuentes.
Las soluciones deberán apoyarse principalmente en los conceptos y resultados desarrollados en el curso. Si se emplea un resultado que no se haya estudiado, deberá enunciarse con precisión y citarse su fuente; cuando dicho resultado sustituya una parte sustancial del razonamiento esperado, también deberá justificarse o demostrarse.

Uso de herramientas de inteligencia artificial

Las herramientas de inteligencia artificial pueden utilizarse como apoyo para estudiar, explorar ejemplos, aclarar conceptos o recibir retroalimentación. Sin embargo, el propósito de las tareas es que cada estudiante desarrolle la capacidad de construir, comprender y redactar argumentos matemáticos por sí mismo.

Cada estudiante es responsable de comprender y poder justificar todas las soluciones que entregue. Como parte del proceso de evaluación, el profesor podrá solicitar ocasionalmente una breve explicación oral o escrita de cualquier argumento incluido en una tarea. La incapacidad para explicar una solución podrá dar lugar a que esta deba corregirse o rehacerse.

Recomendaciones para la redacción

Guía: Observaciones sobre la Redacción Matemática de Michael Porter (Cinvestav).

Evaluación

Mon, 10 Aug 2026 00:00:00 +0000

Tareas: 35%
Examen parcial: 25%
Examen final: 40%

Nota: En las demostraciones se valoran corrección y claridad (guía: 70% corrección, 20% claridad, 10% estructura/ideas).

Contacto

Mon, 10 Aug 2026 00:00:00 +0000

Correo: luis.leon@cimat.mx
Citas de asesoría (opcionales): agenda aquí