José Luis León Medina

Interpretación geométrica de las soluciones por método de Gauss

Tue, 18 Feb 2020 00:05:00 +0100

Recordemos que el proceso de Gauss aplicado a un sistema lineal de $m$ ecuaciones con $n$ incógnitas de la forma $(A|b)$ nos produce un sistema lineal equivalente $(U|c)$ donde $U$ es una matriz escalonada y $r$ el número de renglones no cero de la matriz $U$ es el rango de $A$.

En caso de tener $2$ o $3$ incógnitas podemos interpretar las ecuaciones y la solución como un objeto geométrico en $\mathbb{R}^2$ o $\mathbb{R}^3$.

En caso de tener $2$ incógnitas y un sistema consistente con $r\leq m$, tenemos que

El sistema tiene una única solución si $r=2$, es decir tenemos dos rectas que se intersecan en un solo punto (no son paralelas)
El sistema tiene una infinidad de soluciones si $r=1$, en este caso tenemos dos rectas idénticas y por tanto el conjunto solución es igual a estas rectas.

Por ejemplo consideremos el sistema lineal $Ax=b$ donde $$(A|b)=\left(\begin{array}{cc|c} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & 1\end{array}\right)$$ Este sistema es consistente y tiene solución única $x_1=5/4$, $x_2=-3/4$. Y geometricamente esto significa que el punto $(5/4,-3/4)$ es el punto de intersección de las rectas $x-y=2$ y $2x+2y=1$:

En caso de tener $3$ incógnitas y un sistema consistente tenemos más opciones:

El sistema tiene una única solución si $r=3$, entonces tenemos tres planos que se intersecan en un solo punto.
El sistema tiene infinitas soluciones si $r=2$, en este caso tenemos dos planos que se intersecan sobre una recta, por eso tenemos como solución una ecuación paramétrica de la forma $\mathbf{X}=\mathbf{U}+t\,\mathbf{V}$.
El sistema tiene infinitas soluciones si $r=1$, en este caso tenemos un solo plano y por tanto la solución es ese plano, al final tenemos una ecuación paramétrica de la forma $\mathbf{X}=\mathbf{U}+t\,\mathbf{V}+s\,\mathbf{W}$.

Por ejemplo el sistema de 3 ecuaciones lineales $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & 1\\ -2 & 3 & -1 & 0\\ -6 & 6 & 0 & -2\end{array}\right)$$ tiene como solución a la recta $$ \begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2/3 \\ 0 \end{pmatrix} + t\,\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$ que geometricamente se puede observar aqui:

Tarea 1

Mon, 02 Dec 2019 00:00:00 +0100

Resuelva los siguientes ejercicios

Enuncie todos los posibles subconjuntos del conjunto de letras $\{a,b,c,d\}$.
Sean $A$ y $B$ los conjuntos $A=\{-6,-4,-0.5,0,1.6,8\}$ y $B=\{-0.5,0,1,2,4\}$. Encuentre
- $A-B$,
- $B-A$,
- $A\cup B$,
- $A\cap B$,
- $A\times B$.
Verifique con diagramas de Venn las siguientes identidades:
- $(\overline{A\cup B})\cap C = C-[(A\cap C)\cup (B\cap C)]$,
- $(A\cup B \cup C)-(A\cap B \cap C) = (\overline{A}\cap B)\cup (\overline{B}\cap C) \cup (\overline{C}\cap A)$,
- $\overline{A \cap B \cap C} = \overline{A} \cup \overline{B} \cup \overline{C}$.
Use las leyes de De Morgan para probar que
- $\overline{A \cap (B\cup C)}=(\overline{A} \cup \overline{B}) \cap (\overline{A}\cup \overline{C})$,
- $\overline{A \cap B \cap C} = \overline{A} \cup \overline{B} \cup \overline{C}$.
Sean $A=B=\{x \in \mathbb{R}|-1\leq x \leq 1\}$, es $C=\{(x,y)|x^2+y^2=1\}$ un subconjunto de $A\times B$?
Hallar los siguientes conjuntos
- $\displaystyle\bigcup_{n=1}^\infty \left[a+\frac{1}{n}, b-\frac{1}{n}\right]$,
- $\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty \left(a-\frac{1}{n},b+\frac{1}{n}\right)$.
Sean $A=\{k\in \mathbb{N}| k \leq 20\}$, $B=\{3k-1|k \in \mathbb{N}\}$ y $C=\{2k+1| k \in \mathbb{N}\}$. Determine los siguientes conjuntos
- $A\cap B \cap C$,
- $(A\cap B)\setminus C$,
- $(A\cap C) \setminus B$.
Considere el experimento de lanzar simultaneamente un dado y una moneda y observar el valor del dado y si la moneda cae águila (A) o sol (S).
- Describa el espacio muestral $\mathcal{S}$
- Defina el conjunto que corresponde al evento “El dado cae en número par y la moneda en águila” y denotelo $A$
- Defina el conjunto que corresponde al evento “El dado cae en número primo y la moneda en sol” y denotelo $B$
- Encuentre los conjuntos $A\cup B$, $A\cap B$, $A\setminus B$, $A^c$ y $B^c$ y enuncie en palabras que evento podrían representar cada uno.
Considere el experimento de registrar el tiempo de vida de un componente electrónico
- Describa el espacio muestral $\mathcal{S}$
- Es el espacio muestral un conjunto finito o infinito?
- Defina el conjunto que corresponde al evento “El componente tuvo un tiempo de vida mayor a 400 segundos”
- Defina el conjunto que corresponde al evento “El componente tuvo un tiempo de vida menor a 600 segundos”
- ¿Qué evento corresponde a la intersección de los dos eventos anteriores? ¿Qué evento representa la unión? ¿Qué evento representa la diferencia?
Considere el experimento de elegir un punto al azar en un cuadrado de lado $1$ unidad.
- Describa el espacio muestral $\mathcal{S}$
- Es el espacio muestral un conjunto finito o infinito?
- Defina el conjunto que corresponde al evento “El punto elegido está en la parte media izquierda del cuadrado”
- Defina el conjunto que corresponde al evento “El punto elegido está en la parte media superior del cuadrado”
- ¿Qué evento representa la intersección de los conjuntos anteriores? ¿Qué evento representa la unión? ¿Qué evento representa la diferencia?

Tarea 2

Mon, 02 Dec 2019 00:00:00 +0100

Resuelva los siguientes ejercicios de análisis combinatorio

El código genético de un aminoácido esta formado por una sucesión de tres nucleótidos. Cada nucleótido puede ser uno de cuatro tipos T, A, C, o G, con repeticiones permitidas. ¿Cuántos aminoácidos se pueden codificar de esta manera? $R:64$
El código Morse consiste de una sucesión de puntos y rayas con repeticiones permitidas.
- ¿Cuántas letras se pueden codificar usando exactamente $n$ simbolos? $R:2^n$
- ¿Cúal es el número de letras que se pueden codificar usando $n$ o menos símbolos. $R:2^{n+1}-2$
20 trabajadores son asignados a 20 diferentes trabajos, uno a cada trabajo. ¿Cuántas asignaciones son posibles? $R:20!$
John, Jim, Jay y Jack forman una banda de 4 instrumentos.
- Si cada uno de los integrantes puede tocar los 4 instrumentos, ¿Cuántos arreglos diferentes son posibles? $R:24$
- ¿Qué pasa si John y Jim pueden tocar los 4 instrumentos pero Jay y Jack pueden tocar solo el piano y la bateria? $R:4$
- ¿De cuántas formas se pueden sentar 3 hombres y 3 mujeres en fila?
- ¿De cuántas formas se pueden sentar 3 hombres y 3 mujeres en fila si los hombres y las mujeres se deben sentar juntos?
- ¿De cuántas formas se pueden sentar 3 hombres y 3 mujeres en fila si los hombres se deben sentar juntos?
- ¿De cuántas formas se pueden sentar 3 hombres y 3 mujeres en fila si no se permite que dos personas del mismo sexo se sienten juntos?
¿Cuántos arreglos distintos de letras se pueden formar con las letras de las palabras:
- Mississippi? $R:34650$
- Probabilidad? $R:29937600$
- Arreglo? $R:2520$
- Paralelepipedo? $R:605404800$
Un niño tiene 12 bloques de lego, 6 negros, 4 rojos, 1 blanco y 1 azul. Si el niño pone los bloques en fila. ¿Cuántos arreglos son posibles? $R:74959204320$
¿De cuántas formas se pueden acomodar 3 novelas, 2 libros de matemáticas y 1 libro de química en un librero si
- los libros se pueden colocar en cualquier orden? $R:720$
- los libros de matemáticas se deben colocar juntos y las novelas se deben colocar juntas? $R:72$
- las novelas se deben acomodar juntas, pero los otros libros se pueden colocar en cualquier orden? $R:144$
Cinco premios (mejor aprovechamiento, puntualidad, etc) se darán a estudiantes seleccionados de una clase de 30. ¿Cuántos posibles resultados existen si
- un estudiante puede recibir cualquier número de reconocimientos? $R:30^5$
- cada estudiante puede recibir a lo más un reconocimiento? $R:17100720$
¿Cuántas manos de póquer(5 cartas) se pueden formar? $R:2598960$
Una clase de danza tiene 22 estudiantes, de los cuales 10 son mujeres y 12 hombres. si 5 mujes y 5 hombres serán elegidos para formar 5 parejas. ¿Cuántos resultados son posibles? $R:23950080$
De un grupo de 8 mujeres y 6 hombres, un comité que consta de 3 hombres y 3 mujeres será formado. ¿Cuántos comités diferentes son posibles si
- 2 de los hombres se rehusan a trabajar juntos? $R:672$
- 2 de las mujeres se rehusan a trabajar juntas? $R:1200$
- 1 hombre y 1 mujer se rehusan a trabajar juntos? $R:1330$

Tarea 3

Mon, 02 Dec 2019 00:00:00 +0100

Resuelva los siguientes ejercicios

Sean $E$, $F$ y $G$ tres eventos. Exprese en término de operaciones de conjuntos los siguientes eventos:
- Solo $E$ ocurre,
- $E$ y $G$ ocurren, pero $F$ no ocurre,
- Al menos uno de los eventos ocurre,
- Al menos dos de los eventos ocurre,
- Los tres eventos ocurren,
- Ninguno de los eventos ocurre,
- A lo más uno de los eventos ocurre,
- A lo más dos de los eventos ocurre,
- Exactamente dos de los eventos ocurren,
- A lo más tres de los eventos ocurren.
Supóngase que $A$ y $B$ son eventos ajenos para los cuales $P(A)=0.3$ y $P(B)=0.5$. ¿Cuál es la probabilidad de que
- $A$ o $B$ ocurra? $R:0.8$
- $A$ ocurre pero $B$ no? $R:0.3$
- $A$ y $B$ ocurren? $R:0$
En una cierta población de 100,000 personas se publican diaramente 3 periódicos: I, II y III. Las proporciones de personas que leen estos periódicos es como sigue I: 10%, II: 30%, III: 5%, I y II: 8%, I y III: 2%, II y III: 4%, I, II y III: 1%. Esto nos dice, por ejemplo, que 8000 personas leen los periódicos I y II.
- Encuentre el número de personas que lee sólo un periódico $R:20, 000$
- ¿Cuántas personas leen por lo menos dos periódicos? $R:12, 000$
- Si I y III son periódicos matutinos y II es un periódico vespertino, ¿Cuántas personas leen un periódico matutino más un periódico vespertino? $R:11, 000$
- ¿Cuántas personas no leen ningún periódico? $R:68, 000$
- ¿Cuántas personas leen solo un periódico matutino y un periódico vespertino? $R:10, 000$
Un hombre tiene $n$ llaves, de las cuales solo una abre una cerradura. Si el hombre intenta abrir con cada llave, una a la vez, seleccionada de forma aleatoria de las llaves que no se probaron antes. Encuentre la probabilidad de que la $r$-ésima llave sea la llave correcta. $R:1/n$
Recuerden que un baraja de póquer está dividida en 4 palos, espadas, corazones, rombos y diamantes. Cada palo tiene 13 cartas numeradas como: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K, A. Una mano de póquer consta de 5 cartas seleccionadas aleatoriamente sin reemplazo. Calcule las probabilidades de que ocurra cada una de las siguientes manos:
- Escalera real; 10, J, Q, K, A del mismo palo; $R:1/\binom{52}{5}$
- Escalera de color; 5 cartas consecutivas del mismo palo; $R:36/\binom{52}{5}$
- Póker; cartas con valores de la forma $(x,x,x,x,y)$ donde $x$ y $y$ son diferentes; $R:624/\binom{52}{5}$
- Full; cartas con valores de la forma $(x,x,x,y,y)$ donde $x$ y $y$ son diferentes; $R:3744/\binom{52}{5}$
- Color; Cinco cartas del mismo palo; $R:5108/\binom{52}{5}$
- Escalera; Cinco cartas consecutivas sin importar el palo; $R:10200/\binom{52}{5}$
- Trío; cartas con valores de la forma $(x,x,x,y,z)$, donde $x$, $y$ y $z$ son diferentes; $R:54912/\binom{52}{5}$
- Dos pares; cartas con valores de la forma $(x,x,y,y,z)$, donde $x$, $y$ y $z$ son diferentes; $R:123552/\binom{52}{5}$
- Par; cartas con valores de la forma $(x,x,y,z,w)$ donde $x,y,z$ y $w$ son diferentes. $R:1098240/\binom{52}{5}$
Una caja tiene 40 fusibles buenos y 10 defectuosos. Si se seleccionan 10 fusibles. ¿Cuál es la probabilidad de que los 10 seleccionados sean buenos? $R:38530024/466921735$
Un par de dados son lanzados. ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo dado caiga en un valor mayor que el primero? $R:5/12$
Una caja tiene 10 bolas numeradas, 1, 2, $…$, 10. Suponga que una muestra aleatoria de tamaño 3 es seleccionada. Encuentre la probabilidad de que las bolas 1 y 6 se encuentren entre las 3 seleccionadas. $R:1/15$
Se barajean las cartas de una baraja de póquer y se revisan una a una hasta que el primer rey salga. Encuentre la probabilidad de que esto ocurra con la $n$-ésima carta. $R:\dfrac{4(52-n)(51-n)\cdots (50-n)}{52\cdot 51 \cdot 50 \cdot 49}$
Un par de dados son lanzados hasta que su suma de 5 o 7. Encuentre la probabilidad de que 5 ocurra primero. Consejo: Sea $A_n$ el evento en el que 5 ocurre en el $n$-ésimo lanzamiento y no ocurre un 5 o 7 en los $n-1$ anteriores. Calcule $P(A_n)$ y argumente que $\sum_{n=1}^\infty P(A_n)$ es la probabilidad deseada. $R:2/5$

Para entregar 10 de marzo

Tue, 03 Mar 2020 00:00:00 +0100

Determine para qué valores de $a$ el siguiente sistema lineal tiene solución única, una infinidad o no tiene solución. $$ \begin{align*} x+2y-3z &= 4 \\ 3x-y+5z &= 2 \\ 4x+y+(a^2-14)z &= a+2 \end{align*} $$
Encuentre un polinomio de grado $2$, $p(t)=a_0+a_1t+a_2t^2$, cuya gráfica pase por los puntos en el plano $(1,12)$, $(2,15)$, $(3,16)$. Tal polinomio es un polinomio interpolador para esos puntos.
Resuelva la ecuación matricial $AX=B$ donde $$A=\begin{pmatrix} 99 & 0 & 0 \\ 12 & 6 & 0 \\ -18 & 6 & -3 \end{pmatrix} \quad\text{ y }\quad B=\begin{pmatrix} 11 & 9 & 18 \\ 0 & 12 & 24 \\ 0 & 0 & -6 \end{pmatrix}$$
Sean $a$, $b$ y $c$ constantes con $a\neq 0$. ¿Para qué valores de $x$ es la matriz $\begin{pmatrix} 1 & 0 & c \\ 0 & a & -b \\ -1/a & x & x^2 \end{pmatrix}$ invertible?

Tareas

Tue, 18 Feb 2020 00:00:00 +0100

Estas son las tareas que he dejado hasta ahora

Leer el capítulo 1 del libro y las notas de ecuaciones paramétricas
Hacer los ejercicios 2.1
Hacer los ejercicios 2.2
Por cada uno de los ejercicios 2.1 y 2.2 que involucren 2 o 3 incógnitas usar los applets en las notas de Eliminación Gaussiana para confirmar sus respuestas geometricamente.
Hacer los ejercicios 2.3
Hacer los ejercicios 2.5

Para entregar el día del examen

Mon, 02 Dec 2019 00:00:00 +0100

Considere el experimento de elegir un punto al azar en un cuadrado de lado $1$ unidad.
- Describa el espacio muestral $\mathcal{S}$
- Es el espacio muestral un conjunto finito o infinito?
- Defina el conjunto que corresponde al evento “El punto elegido está en la parte media izquierda del cuadrado”
- Defina el conjunto que corresponde al evento “El punto elegido está en la parte media superior del cuadrado”
- ¿Qué evento representa la intersección de los conjuntos anteriores? ¿Qué evento representa la unión? ¿Qué evento representa la diferencia?
Sean $E$, $F$ y $G$ tres eventos. Exprese en término de operaciones de conjuntos los siguientes eventos:
- Solo $E$ ocurre,
- $E$ y $G$ ocurren, pero $F$ no ocurre,
- Al menos uno de los eventos ocurre,
- Al menos dos de los eventos ocurre,
- Los tres eventos ocurren,
- Ninguno de los eventos ocurre,
- A lo más uno de los eventos ocurre,
- A lo más dos de los eventos ocurre,
- Exactamente dos de los eventos ocurren,
- A lo más tres de los eventos ocurren.
Un par de dados son lanzados hasta que su suma de 5 o 7. Encuentre la probabilidad de que 5 ocurra primero.
Tenemos tres urnas. La urna A tiene 2 bolas blancas y 4 rojas, la urna B tiene 8 bolas blancas y 4 rojas y la urna C tiene 1 bola blanca y 3 rojas. Si 1 bola es seleccionada de cada urna. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola elegida de la urna A sea blanca dado que exactamente 2 bolas blancas fueron seleccionadas?

Tarea 4

Mon, 02 Dec 2019 00:00:00 +0100

Resuelva los siguientes ejercicios

Dos dados son lanzados. Calcular la probabilidad condicional de que al menos uno cae en $6$ dado que los dados caen en diferente número. R: 1/3
Una urna tiene 6 bolas blancas y 9 bolas negras. Si 4 bolas son seleccionadas al azar sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que las 2 primeras sean blancas y las 2 últimas negras? R: 6/91
Tenemos tres urnas. La urna A tiene 2 bolas blancas y 4 rojas, la urna B tiene 8 bolas blancas y 4 rojas y la urna C tiene 1 bola blanca y 3 rojas. Si 1 bola es seleccionada de cada urna. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola elegida de la urna A sea blanca dado que exactamente 2 bolas blancas fueron seleccionadas? R: 7/11
En una cierta comunidad, 36% de las familias tienen un perro y 22% de las familias que tienen un perro también tienen un gato. Además, 30% de las familias tienen un gato.
- ¿Cuál es la probabilidad de que una familia elegida al azar tenga perro y gato? R: 0.792
- ¿Cuál es la probabilidad condicional de que una familia elegida al azar tenga un perro dado que tienen un gato? R: 0.264
52% de estudiantes de una escuela son mujeres. 5% de estudiantes estudian computación. 2% de los estudiantes son mujeres y estudian computación. Si un estudiante es seleccionado al azar, encuentre la probabilidad condicional de que
- sea mujer dado que estudia computación. R: 0.4
- estudie computación dado que es mujer. R: 1/26
En días lluviosos Juan llega tarde a su trabajo con probabilidad 0.3, en dias no lluviosos llega tarde con probabilidad 0.1. Sabemos que mañana lloverá con probabilidad 0.7
- Encuentre la probabilidad de que Juan llegue tarde mañana. R: 0.76
- Dado que Juan llegó temprano. ¿Cuál es la probabilidad condicional de que llovió? R: 49/76
Tres prisioneros son informados por su celador de que uno de ellos fue elegido al azar para ser ejecutado y los otros dos serán liberados. El prisionero A le pregunta al celador en privado cuál de sus compañeros será liberado, asegurando que no hay problema al divulgar la información porque ya sabe que uno de sus compañeros será liberado. El celador se niega a respoder asegurando que si A supiera cuál de sus compañeros será liberado, entonces su propia probabilidad de ser ejecutado aumentaria de 1/3 a 1/2 porque entonces el sería uno de dos prisioneros en ser ejecutado. ¿Qué piensa del razonamiento del celador?
Un examen de opción multiple tiene 35 preguntas. Cada pregunta tiene 4 posibles respuesta, siendo sólo una de ellas correcta. Si un alumno responde al azar cada pregunta ¿Cuál es la probabilidad de que todas sus respuestas sean correctas? R: $0.25^{35}$
Una máquina tiene 4 componentes ensamblados en paralelo, de tal forma que la máquina falla sólo si todos los componentes fallan. Suponga que las fallas son independientes una de la otra. Si cada componente tiene probabilidad de fallar de 0.1, 0.2, 0.3 y 0.4 cuando la máquina está encendida. ¿Cuál es la probabilidad de que la máquina funcione cuando esté encendida? R: 0.9976
Demuestre que si $A$, $B$ y $C$ son tres eventos tales que $P(A\cap B \cap C)\neq \emptyset$ y $P(C|A\cap B)=P(C|B)$, entonces $P(A|B\cap C)=P(A|B)$.

Temario

Mon, 11 Aug 2025 00:00:00 +0000

1. Grupos

Semigrupos, monoides y grupos.
Subgrupos y homomorfismos.
Grupos cíclicos.
Clases módulo subgrupos, normalidad, cocientes.
Teoremas de isomorfismos.
Grupos simétricos, alternantes y dihédricos.
Productos, sumas y grupos libres.
Estructura de los grupos abelianos finitamente generados.
Condiciones de cadena ascendente y descendente.
Acciones sobre conjuntos.
Teoremas de Sylow.
Solubilidad y nilpotencia.
Series normales.

2. Anillos

Anillos y homomorfismos.
Ideales y cocientes.
Teoremas de isomorfismos.
Factorización en anillos conmutativos.
Dominios de ideales principales y dominios euclídeos.
Anillos de fracciones y localización.
Anillos de polinomios y de series de potencias.
Factorización en anillos de polinomios.

3. Teoría de Galois

Extensiones de campos.
Construcciones con regla y compás.
Automorfismos de campos, grupo de Galois y Teorema Fundamental de la Teoría de Galois.
Normalidad, separabilidad y cerradura algebraica. Teorema Fundamental del Álgebra.
Grupo de Galois de un polinomio.
Campos finitos.

Bibliografía

Referencias principales:
- Paolo Aluffi, Algebra: Chapter 0.
- D. S. Dummit & R. M. Foote, Abstract Algebra (3rd ed.).
Referencias adicionales:
- Serge Lang, Algebra (rev. 3rd ed.).
- Michael Artin, Algebra.

Tareas

Mon, 11 Aug 2025 00:00:00 +0000

Entrega

Envíen un solo PDF por correo electrónico con asunto “Álgebra Moderna — Tarea #”. La fecha límite aparece en la tabla de tareas.

Formato

Puede ser digital (LaTeX) o manuscrito escaneado (no fotos).
Presentación clara; justifique cada paso y cite resultados usados.

Entregas tardías

Penalización: −10% del puntaje total por día natural de retraso, hasta 3 días.
Después de 3 días no se acepta, salvo prórroga solicitada antes del vencimiento con justificación.

Colaboración e integridad

Se permite discutir ideas con compañeros, pero la redacción y el desarrollo deben ser propios.
Evite copiar soluciones de libros/Internet.

Recomendaciones para la redacción

Guía: Observaciones sobre la Redacción Matemática de Michael Porter (Cinvestav).

Tarea	Fecha de entrega
Tarea 1	29 de agosto
Tarea 2	12 de septiembre
Tarea 3	27 de septiembre
Tarea 4	17 de octubre
Tarea 5	31 de octubre
Tarea 6	19 de noviembre
Tarea 7	5 de diciembre

Cronograma

Mon, 11 Aug 2025 00:00:00 +0000

Fecha	Aluffi	Dummit & Foote
12 de agosto	Cap. 1 — §§1–4	Preliminares
14 de agosto	Cap. 2 — §§1–3	Cap. 1 — §§1–4
19 de agosto	Cap. 2 — §§4–5	Cap. 1 — §§6–7
21 de agosto	Cap. 2 — §6	Cap. 1 — §§6–7; Cap. 2
26 de agosto	Cap. 2 — §7	Cap. 3 — §§1–2
28 de agosto	Cap. 2 — §§8–9	Cap. 3 — §3
2 de septiembre	Sesión de ejercicios
4 de septiembre	Cap. 2 — §9.3; Cap. 4 — §1	Cap. 1 — §7; Cap. 2 — §2; Cap. 4 — §3
9 de septiembre	Cap. 4 — §2	Cap. 4 — §5
11 de septiembre	Cap. 4 — §3	Cap. 3 — §4
18 de septiembre	Cap. 4 — §4	Cap. 3 — §5; Cap. 4 — §6
23 de septiembre	Cap. 4 — §§5–6	Cap. 5
25 de septiembre	Cap. 3 — §§1–2	Cap. 7 — §§1–2
30 de septiembre	Cap. 3 — §§3–4	Cap. 7 — §§3–4
2 de octubre	Cap. 3 — §5	Cap. 10 — §§1–2
7 de octubre	Cap. 3 — §6	Cap. 10 — §3
9 de octubre	Cap. 5 — §1	Cap. 8
14 de octubre	Cap. 5 — §§2.1–2.3	Cap. 8
16 de octubre	Cap. 5 — §2.4; §3	Cap. 9
23 de octubre	Cap. 5 — §§4.1–4.3	Cap. 9
28 de octubre	Cap. 5 — §5	Cap. 9
30 de octubre	Cap. 5 — §§6.1–6.3	Cap. 8; Cap. 9
4 de noviembre	Cap. 6 — §1; §5	Cap. 10
6 de noviembre	Cap. 7 — §1	Cap. 13
11 de noviembre	Cap. 7 — §§4.1–4.3	Cap. 13
13 de noviembre	Cap. 7 — §§5.1–5.2	Cap. 13
18 de noviembre	Cap. 7 — §§6.1–6.2	Cap. 14
20 de noviembre	Cap. 7 — §§6.3–6.4	Cap. 14
25 de noviembre	Cap. 7 — §3; §7.1	Cap. 13; Cap. 14
27 de noviembre	Cap. 7 — §§7.4–7.5	Cap. 14

Evaluación

Mon, 11 Aug 2025 00:00:00 +0000

Tareas: 35%
Examen parcial: 25%
Examen final: 40%

Nota: Se valoran corrección y claridad en las demostraciones (guía: 70% corrección, 20% claridad, 10% estructura/ideas).

Contacto

Mon, 11 Aug 2025 00:00:00 +0000

Correo: luis.leon@cimat.mx
Citas de asesoría (opcionales): agenda aquí

Seminario de Topología Algebraica CIMAT-Mérida

Sun, 01 Feb 2026 00:00:00 +0000

Seminario de Topología Algebraica CIMAT-Mérida (líder de grupo de trabajo)

Sun, 01 Feb 2026 00:00:00 +0000

Gráficas en Superficies, Polinomios y 3-Variedades (CIMAT)

Tue, 13 Jan 2026 00:00:00 +0000

Primavera 2026

Tue, 13 Jan 2026 00:00:00 +0000

En progreso

Thu, 01 Jan 2026 00:00:00 +0000

The rational (non-)formality of the non-3-equal manifolds

Mon, 08 Dec 2025 00:00:00 +0000

58 Congreso Nacional de la SMM (Coordinación de área)

Mon, 20 Oct 2025 00:00:00 +0000

Coordinación de área (SMM)

Mon, 20 Oct 2025 00:00:00 +0000

3-manifold polynomials

Wed, 08 Oct 2025 00:00:00 +0000

The Cohomology of Real Parabolic Arrangements

Tue, 02 Sep 2025 17:30:00 +0200

Póster en Pisa - Topology of Arrangements

Tue, 02 Sep 2025 00:00:00 +0000

Potenciando el Aprendizaje Automático con Características Topológicas

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Un Acercamiento al Análisis Topológico de Datos

Mon, 17 Jun 2024 00:00:00 +0000

Un Acercamiento al Análisis Topológico de Datos

Mon, 17 Jun 2024 00:00:00 +0000

Escuela de Verano en Topología Algebraica

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Escuela de Verano CIMAT Mérida

Sat, 08 Jun 2024 00:00:00 +0000

Escuela de Primavera CIMAT Mérida

Mon, 08 Apr 2024 00:00:00 +0000

Escuela de Primavera CIMAT Mérida

Mon, 08 Apr 2024 00:00:00 +0000

The topological complexity of non-$k$-equal spaces

Wed, 10 Jan 2024 17:30:00 +0000

Congreso GEOTOP-A

Mon, 08 Jan 2024 00:00:00 +0000

Congreso GEOTOP-A

Mon, 01 Jan 2024 00:00:00 +0000

Seminario de Topología Algebraica

Sun, 31 Dec 2023 00:00:00 +0000

Seminario de Topología Algebraica CIMAT-Mérida (participación desde 2023)

Sun, 31 Dec 2023 00:00:00 +0000

2023

Fri, 15 Dec 2023 00:00:00 +0000

Pares Ordenados

Fri, 15 Dec 2023 00:00:00 +0000

Escuela de Verano CIMAT-Mérida

Mon, 10 Jul 2023 00:00:00 +0000

Escuela de Verano CIMAT-Mérida

Mon, 10 Jul 2023 00:00:00 +0000

Estancias de Verano CIMAT-Mérida

Sat, 01 Jul 2023 00:00:00 +0000

2023

Thu, 01 Jun 2023 00:00:00 +0000

Espacios de no $k$ iguales

Wed, 29 Mar 2023 10:00:00 +0000

On Lusternik–Schnirelmann category and topological complexity of non-k-equal manifolds

Fri, 01 Apr 2022 00:00:00 +0000

Otoño 2021

Sun, 15 Aug 2021 00:00:00 +0000

Primavera 2021

Mon, 15 Feb 2021 00:00:00 +0000

Linear motion planning with controlled collisions and pure planar braids

Fri, 01 Jan 2021 00:00:00 +0000

Welcome to Wowchemy, the website builder for Hugo

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Otoño 2020

Sat, 15 Aug 2020 00:00:00 +0000

Método de Newton-Raphson

Tue, 25 Feb 2020 10:30:00 -0600

El método de Newton-Raphson se basa en una aproximación de una función continua dos veces diferenciable por medio de su polinomio de Taylor de orden 2 $$ f(x) \approx f(x_0) + f’(x_0)(x-x_0) $$ si $x$ es una raíz de $f$, esto es $x \approx x_0 - \dfrac{f(x_0)}{f’(x_0)}$.

Este método es un ejemplo particular de método de punto fijo que convierte el problema de encontrar una raíz para $f(x)$ en un problema de encontrar el punto fijo de $g(x)=x_0 - \dfrac{f(x_0)}{f’(x_0)}$, sin embargo, para garantizar la convergencia del método se requiere tomar una aproximación inicial suficientemente cerca de la raíz de $f$. El siguiente teorema garantiza que siempre se puede encontrar una vecindad suficientemente pequeña de la raíz donde el método siempre converge:

Sea $f\in C^2[a,b]$. Si $p\in (a,b)$ es tal que $f(p)=0$ y $f’(p)\neq 0$, entonces existe una $\delta >0$ tal que el método de Newton genera una sucesión ${p_n}_{n=1}^{\infty}$ que converge a $p$ para cualquier aproximación inicial $p_0\in[p-\delta,p+\delta]$.

Diagrama de flujo

Código

El siguiente codigo implementa el método de Newton en C++:

///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
// Programa para hallar la raíz de una función usando el método de Newton	 //
// El programa requiere subprogramas para las funciones f y f', 		 //
// el punto inicial p0, la tolerancia de error eps, y el máximo número 		 //
// de iteraciones permitidas, kmax. 						 //
// El programa muestra una tabla con los valores de x y su evaluación en f.	 //
///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
# include <iostream>
# include <iomanip>
# include <math.h> // para log x
using namespace std; // Para usar cout

long double f(long double x); // Declara la función f
long double fprima(long double x); // Declara la derivada de f

int main(){
    int kmax;
    long double p0, p, eps;
    cout << "p0, eps, kmax\n";
    cin >> p0 >> eps >> kmax;
    // Verificamos que los valores ingresados permitan usar el algoritmo
    while(isnan(f(p0)) || isnan(fprima(p0))){
        if(isnan(f(p0)))
            cout << "La funcion no esta definida en " << p0;
        else if(isnan(fprima(p0)))
            cout << "La derivada de la funcion no esta definida en " << p0;
   		cout << "Ingrese nuevamente una aproximacion inicial p0\n";
   		cin >> p0;
    }
    cout << "Los valores ingresados son \n";
    cout <<  "p0= " << p0 << " eps = " << eps << "  kmax = " << kmax << endl;
    cout << "Los resultados son\n"; // Muestra el encabezado de la tabla
    cout << "k" << setw(15) << "x" << setw(22) << "f(x)\n"; 
    int k=0;
    p=p0;
    cout.setf(ios::fixed);
    while ((k<=kmax) && (fabs(f(p0))>eps)){
        // Muestra los valores de k, p y f(p)
        cout << k << setprecision(10) << setw(20) << p << setw(20) << f(p)
             << endl;
        k++; // incrementa el contador del ciclo
        p0=p; 
        p=p-f(p)/fprima(p);
    };
    if (fabs(f(p))<=eps) cout << "La raiz de f es " << p0; 
    else if (k>kmax) cout << "El metodo no converge en " << kmax << " pasos";
    return 0;
}
// El subprograma para ingresar la función f
long double f(long double x){
    return cos(x)-x;
}

// El subprograma para ingresar la derivada f'
long double fprima(long double x){
    return -sin(x)-1;
}

Iteración de punto fijo

Tue, 25 Feb 2020 10:30:00 -0600

El método de iteración de punto fijo requiere el siguiente teorema para garantizar la convergencia a un resultado

Sea $g\in C[a,b]$ tal que $g(x)\in[a,b]$ para todas las $x$ en $[a,b]$. Suponga, además, que existe $g’$ en $(a,b)$ y que existe una constante $0<k<1$ con $$ |g’(x)|\leq k, \text{ para toda }x\in (a,b). $$ Entonces, para cualquier número $p_0$ en $[a,b]$, la sucesión definida por $$ p_n=g(p_{n-1}), \qquad n\geq 1, $$ converge al único punto fijo $p$ en $[a,b]$.

Bajo las condiciones del teorema el algoritmo siempre converge. Las cotas de error al aproximar $p_n$ al punto fijo están dadas por $$ |p_n-p|\leq k^n \max\{p_0-a,b-p_0\} $$ y $$ |p_n-p| \leq \dfrac{k^n}{1-k}|p_1-p_0|, \text{ para toda }n\geq 1. $$

Diagrama de flujo

Código

El siguiente codigo implementa el método de punto fijo en C++:

///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
// Programa para hallar el punto fijo de una función g entre a y b.		 //
// El programa requiere un subprograma para la función g, los puntos 		 //
// a y b, la tolerancia de error eps, y el máximo número 			 //
// de iteraciones permitidas, kmax. 						 //
// El programa muestra una tabla con los valores de x y su evaluación en g.	 //
///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
# include <iostream>
# include <iomanip>
# include <math.h> // para log x
using namespace std; // Para usar cout

long double f(long double x); // Declara la función f

int main(){
    int kmax;
    long double a, b, p, eps;
    cout << "Ingrese a, b, p, eps, kmax\n";
    cin >> a >> b >> p >> eps >> kmax;
    // Verificamos que los valores ingresados permitan usar el algoritmo
    while(b<a || isnan(f(a)) || isnan(f(b)) || f(a)<a || f(b)>b){
        if(b<a)
            cout << "Ingrese un intervalo de la forma (a,b) con a<b\n";
        else if(isnan(f(a)))
            cout << "La evaluacion en " << a << " no esta definida\n";
        else if(isnan(f(b)))
            cout << "La evaluacion en " << b << " no esta definida\n";
        else if(f(a)<a || f(b)>b)
            cout << "La funcion no satisface el Teorema  b\n";
        cout << "Ingrese nuevamente valores para a y b\n";
        cin >> a >> b;
    }
    cout << "Los valores ingresados son \n";
    cout << "a= " << a << "  b= " << b << " p= " <<p;
    cout << " eps = " << eps << "  kmax = " << kmax << endl;
    cout << "Los resultados son\n"; // Muestra el encabezado de la tabla
    cout << "k" << setw(16) << "x" << setw(22) << "f(x)\n";
    cout << 0 << setprecision(9) << setw(20) << p << setw(20) << f(p)
             << endl;
    int k=1;
    cout.setf(ios::fixed);
    while ((k<=kmax) && (fabs(f(p)-p)>eps)){
        // Muestra los valores de k, x, y, a, b
        cout << k << setprecision(9) << setw(20) << f(p) << setw(20) << f(f(p))
             << endl;
        k++; // incrementa el contador del ciclo
        if (fabs(f(f(p))-f(p))<=eps) cout << "El punto fijo de f es " << p; 
        p=f(p);
    };
    if (k>kmax) cout << "El metodo no converge en " << kmax << " pasos";
    return 0;
}
// El subprograma para ingresar la función f
long double f(long double x){
    return x-(x*x*x+4*x*x-10)/(3*x*x+8*x);
}

Método de la secante

Tue, 25 Feb 2020 10:30:00 -0600

El método de la secante implementa la misma idea que el método de Newton usando la aproximación de la secante a la derivada: $$ f’(x) \approx \dfrac{f(p_1)-f(p_0)}{p_1-p_0} $$ para valores cercanos a $x$, $p_0$ y $p_1$.

Diagrama de flujo

Código

El siguiente codigo implementa el método de la secante en C++:

///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
// Programa para hallar la raíz de una función usando el método de la secante	 //
// El programa requiere un subprograma para las funciones f,	 		 //
// Los puntos iniciales p0 y p1, la tolerancia de error eps, y el máximo número	 //
// de iteraciones permitidas, kmax. 						 //
// El programa muestra una tabla con los valores de x y su evaluación en f.	 //
///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
# include <iostream>
# include <iomanip>
# include <math.h> // para log x
using namespace std; // Para usar cout


long double f(long double x); // Declara la función f
long double secante(long double p0, long double p1); // Declara la función secante

int main(){
    int kmax;
    long double p0, p1, p, eps;
    cout << "p0, p1, eps, kmax\n";
    cin >> p0 >> p1 >> eps >> kmax;
    // Verificamos que los valores ingresados permitan usar el algoritmo
    while(isnan(f(p0)) || isnan(f(p1))){
        if(isnan(f(p0)))
            cout << "La funcion no esta definida en " << p0;
        else if(isnan(f(p1)))
            cout << "La funcion no esta definida en " << p1;
   		cout << "Ingrese nuevamente las aproximacion iniciales p0, p1\n";
   		cin >> p0 >> p1;
    }
    cout << "Los valores ingresados son \n";
    cout <<  "p0= " << p0 << "p1= " << p1 << " eps = " << eps << "  kmax = " << kmax << endl;
    cout << "Los resultados son\n"; // Muestra el encabezado de la tabla
    cout << "k" << setw(15) << "x" << setw(22) << "f(x)\n";
    cout << 0 << setprecision(10) << setw(20) << p0 << setw(20) << f(p0)
             << endl;
    cout << 1 << setprecision(10) << setw(20) << p1 << setw(20) << f(p1)
             << endl;         
    int k=2;
    p=p0;
    cout.setf(ios::fixed);
    while ((k<=kmax) && (fabs(f(p))>eps)){
        p0=p; 
        p=p1-f(p1)/secante(p0,p1);
        // Muestra los valores de k, p y f(p)
        cout << k << setprecision(10) << setw(20) << p << setw(20) << f(p)
             << endl;
        k++; // incrementa el contador del ciclo        
    };
    if (fabs(f(p))<=eps) cout << "La raiz de f es " << p0; 
    else if (k>kmax) cout << "El metodo no converge en " << kmax << " pasos";
    return 0;
}
// El subprograma para ingresar la función f
long double f(long double x){
    return pow(x,3)-2*pow(x,2)-5;
}

// El subprograma para calcular la secante de dos puntos
long double secante(long double p0, long double p1){
    return (f(p1)-f(p0))/(p1-p0);
}

Método de Bisección

Mon, 24 Feb 2020 10:30:00 -0600

El método de bisección es un algoritmo de búsqueda de raíces que trabaja dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raíz. Se basa en el Teorema de Bolzano:

Sea $f$ una función real continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ con $f(a)$ y $f(b)$ de signos contrarios. Entonces existe al menos un punto $c$ del intervalo abierto $(a,b)$ con $f(c)=0$.

Bajo las condiciones del teorema el algoritmo siempre converge. Si deseamos una tolerancia de error absoluto $\epsilon$ necesitamos $n\geq \frac{\log\left(\frac{b-a}{\epsilon}\right)}{\log{2}}$ iteraciones.

Diagrama de flujo

Código

Considerarémos el siguiente codigo en C++:

///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
// Programa para aproximar la raiz de una funcion f entre a y b.		 //
// El programa requiere un subprograma para la función f, los puntos 		 //	
// a y b, la tolerancia de convergencia eps, y el máximo número 		 //
// de bisecciones permitidas, kmax. 						 //
// El programa muestra una tabla con los intervalos elegidos y sus puntos medios //
// como lo hace el algoritmo de la bisección					 //
///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
# include <iostream>
# include <iomanip>
# include <math.h> // para log x
using namespace std; // Para usar cout


long double f(long double x); // Declara la función f

int main(){
	int kmax;
	long double a, b, eps;
	cout << "Ingrese a, b, eps, kmax\n";
	cin >> a >> b >> eps >> kmax;				
	// Verificamos que los valores ingresados permitan usar el algoritmo
	while(b<a || isnan(f(a)) || isnan(f(b)) || f(a)*f(b)>0){
		if(b<a)
			cout << "Ingrese un intervalo de la forma (a,b) con a<b\n";
		else if(isnan(f(a)))
			cout << "La evaluacion en " << a << " no esta definida\n";	
		else if(isnan(f(b)))
			cout << "La evaluacion en " << b << " no esta definida\n";
		else if(f(a)*f(b)>0)
			cout << "La funcion tiene el mismo signo en a y en b\n";	
	cout << "Ingrese nuevamente valores para a y b\n";
	cin >> a >> b;		
	}
	cout << "Los valores ingresados son \n";
	cout << "a= " << a << "  b= " << b;
	cout << " eps = " << eps << "  kmax = " << kmax << endl;
	cout << "Los resultados son\n"; // Muestra el encabezado de la tabla
	cout << "k" << setw(7) << "x" << setw(11) << "f(x)" << setw(8) << "a" << setw(9) <<  "b\n";
	int k=1;
	cout.setf(ios::fixed);
	float x=0.5*(a+b); // Primera bisección
	cout << 0 << setprecision(6) << setw(10) << x << setw(10) << f(x)
		 << setprecision(4) << setw(8) << a << setw(8) << b << endl;
	while ((k<=kmax) && ((b-a)/2>eps)){
		if(f(x)*f(a)>0)  	 // Compara para
			a=x;			 // elegir el
		else if(f(x)*f(b)>0) // intervalo
			b=x;			 // correcto
		else{
			cout << "El cero de la funcion es " << x; 
			exit(0);
		} 
	x=0.5*(a+b); // Siguiente bisección
	// Muestra los valores de k, x, y, a, b
	cout << k << setprecision(6) << setw(10) << x << setw(10) << f(x)
		 << setprecision(4) << setw(8) << a << setw(8) << b << endl;
	k++; // incrementa el contador del ciclo
	}
	if (k>kmax) cout << "El algoritmo no converge en menos de " << kmax << "pasos";
	else cout << "El cero de la funcion es " << setprecision(6) << x;
	return 0;
}
// El subprograma para ingresar la función f
long double f(long double x){
	return pow(x,3)-sin(x);
}

Ecuaciones Paramétricas de la recta y el plano

Tue, 18 Feb 2020 00:00:00 +0100

Un sistema de ecuaciones paramétricas permite representar una curva o superficie en el plano o en el espacio, mediante valores que recorren un intervalo de números reales, mediante una variable, llamada parámetro, considerando cada coordenada de un punto como una función dependiente del parámetro.

En particular estamos interesados en la ecuación paramétrica de la recta y el plano porque estas ecuaciones paramétricas ocurren a menudo en la solución de sistemas lineales.

La ecuación paramétrica de una recta es $$\mathbf{X}=\mathbf{U}+t\,\mathbf{V}$$ donde $\mathbf{U}$ es un punto en la recta, $\mathbf{V}$ es el vector de dirección de la recta y $t$ es un parámetro $t\in(-\infty,\infty)$.

Por ejemplo, consideremos en $\mathbb{R}^3$ (el espacio euclidiano de tres dimensiones) la recta $$\begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} + t\,\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$$

Esta ecuación se puede visualizar de la siguiente forma:

Pueden cambiar los valores del punto en la recta y del vector de dirección para observar que recta genera por cada cambio de vectores así como el desplazamiento sobre la recta de los puntos de acuerdo al parámetro $t$.

Similarmente podemos definir la ecuación paramétrica de un plano de la siguiente forma:

La ecuación paramétrica de un plano es $$\mathbf{X}=\mathbf{U}+t\,\mathbf{V}+s\,\mathbf{W}$$ donde $\mathbf{U}$ es un punto en el plano, $\mathbf{V}$ y $\mathbf{W}$ son vectores de dirección (si uno no es múltiplo del otro entonces generan un plano que pasa por $\mathbf{U}$) y $t$ y $s$ son parámetros $t,s\in(-\infty,\infty)$.

Entonces el plano $$\begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} + t\,\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}+s\,\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$$ tiene la siguiente representación geométrica:

Similarmente, pueden editar los valores de los vectores de dirección y observar que plano se genera a partir de ellos y del punto inicial en el plano.

Primavera 2020

Sun, 16 Feb 2020 00:00:00 +0000

Calificaciones Primer Parcial

Fri, 14 Feb 2020 00:00:00 +0100

Boleta	Pr. 1	Pr. 2	Pr. 3	Prácticas	Examen	Promedio	Tarea	Final
2019640001	7	8	10	8.3	6	7.2	1.0	8.2
2019640006	7	8	10	8.3	5	6.7	1.0	7.7
2016640022	10	9	9	9.3	5	7.2	1.0	8.2
2019640022	6	10	10	8.7	8	8.3	1.0	9.3
2015640065	8	8	5	7.0	2	4.5	0.0	4.5
2015080235	0	0	0	0.0	0	0.0	0.0	0.0
2019640131	0	5	0	1.7	0	0.8	0.0	0.8
2016640114	10	8	9	9.0	4	6.5	1.0	7.5
2015640151	0	0	0	0.0	0	0.0	0.0	0.0
2016640345	9	8	9	8.7	5	6.8	1.0	7.8
2019640545	8	8	10	8.7	5	6.8	1.0	7.8
2014640158	7	9	10	8.7	2.5	5.6	0.0	5.6
2016640353	0	8	0	2.7	0	1.3	0.0	1.3
2018362031	8	8	9	8.3	4	6.2	1.0	7.2
2015150841	8	10	8	8.7	5	6.8	1.0	7.8

Homotopy type of skeleta of the flag complex over a finite vector space and generalized Galois numbers

Sat, 01 Feb 2020 00:00:00 +0000

Aviso

Mon, 02 Dec 2019 00:00:00 +0100

Oficialmente se suspenden las clases en el IPN desde el 17 de marzo hasta el 20 de abril de 2020. Analizaré la situación y conforme a la información oficial les haré llegar información sobre cómo procederemos con el curso. Les pido por favor que me envíen un correo electrónico a jose.leon@cinvestav.mx indicandome el curso en el que están inscritos.

Aviso

Mon, 02 Dec 2019 00:00:00 +0100

Oficialmente se suspenden las clases en el IPN desde el 17 de marzo hasta el 20 de abril de 2020. Analizaré la situación y conforme a la información oficial les haré llegar información sobre cómo procederemos con el curso. Les pido por favor que me envíen un correo electrónico a jose.leon@cinvestav.mx indicandome el curso en el que están inscritos.

Tarea para entregar el día del examen

Mon, 02 Dec 2019 00:00:00 +0100

Realizar un programa que implemente el algoritmo del siguiente diagrama de flujo. La idea es usar el método de Newton y cuando la derivada se anule o la nueva aproximación salga de un intervalo usar el método de bisección. Agregar el código en su documento de Overleaf.

Tarea 1

Mon, 02 Dec 2019 00:00:00 +0100

Resuelva los siguientes ejercicios

Calcule el error absoluto y el error relativo en las aproximaciones de $p$ mediante $p^\ast$.
- $p=\pi$, $p^\ast=22/7$
- $p=\pi$, $p^\ast=3.1416$
- $p=e$, $p^\ast=2.718$
- $p=\sqrt{2}$, $p^\ast=1.414$
- $p=8!$, $p^\ast=39900$
Suponga que $p^\ast$ debe aproximar a $p$ con un error relativo a lo sumo $10^{-3}$. Determine el máximo intervalo en que debe estar $p^\ast$ para cada valor de $p$.
- $150$
- $900$
- $1500$
- $90$
Sea $f\in C[a,b]$ una función continua cuya derivada existe en $(a,b)$. Suponga que se evaluará a $f$ en $x_0$ en $(a,b)$, pero en vez de calcular el valor real $f(x_0)$, el valor aproximado $\overline{f}(x_0)$, es el valor real de $f$ en $x_0+\epsilon$, es decir, $\overline{f}(x_0)=f(x_0+\epsilon)$.
- Use el teorema del valor medio para estimar el error absoluto $|f(x_0)-\overline{f}(x_0)|$ y el error relativo $|f(x_0)-\overline{f}(x_0)|/|f(x_0)|$, suponiendo que $f(x_0)\neq 0$
- Si $\epsilon=5\times 10^{-6}$ y $x_0=1$, calcule las cotas de los errores absoluto y relativo para $f(x)=e^x$ y $g(x)=\operatorname{sen}x$.
El número $e$ se define como $e=\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}$ donde $n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1$ para $n\neq 0$ y $0!=1$. Use la aritmética de truncamiento de cuatro cifras para calcular la siguiente aproximación de $e$ y determine los errores absoluto y relativo.
- $e \approx \displaystyle \sum_{n=0}^5 \frac{1}{n!}$
- $e \approx \displaystyle \sum_{k=0}^{10} \frac{1}{(10-j)!}$
Determine la rapidez de convergencia de las siguientes sucesiones cuando $n\to \infty$
- $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \operatorname{sen}\frac{1}{n} = 0$
- $\displaystyle\lim_{n\to \infty} \operatorname{sen}\frac{1}{n^2}=0$
- $\displaystyle\lim_{n\to \infty}\left(\operatorname{sen}\frac{1}{n}\right)^2 = 0$
- $\displaystyle\lim_{n\to \infty} \big[\ln(n+1)-\ln(n)\big]=0$
Determine las razones de convergencia de las siguientes funciones cuando $h\to 0$.
- $\displaystyle\lim_{h\to 0} \frac{\operatorname{sen}h}{h}=1$
- $\displaystyle\lim_{h\to 0} \frac{1-\cos h}{h}=0$
- $\displaystyle\lim_{h\to 0} \frac{\sin h-h\cosh}{h}=0$
- $\displaystyle\lim_{h\to 0} \frac{1-e^h}{h}=1$
- ¿Cuántas multiplicaciones y sumas se necesitan para determinar una suma de la siguiente forma? $$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i a_ib_j$$
- Modifique la suma en una forma equivalente que reduzca el número de cálculos.
Suponga que se tiene el polinomio $P(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots + a_1x+a_0$. Construya un algoritmo para evaluar $P(x_0)$ por medio de una multiplicación anidada.

Thu, 14 Feb 2019 00:00:00 +0100

Realizaremos las prácticas usando LaTeX en Overleaf, si aún no tienen cuenta por favor registrense en Overleaf.

El documento principal de donde van a copiar las prácticas es este Prácticas.

Slides

Tue, 05 Feb 2019 00:00:00 +0000

Create slides in Markdown with Wowchemy

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porridge = "blueberry"
if porridge == "blueberry":
    print("Eating...")

Math

In-line math: $x + y = z$

Block math:

$$ f\left( x \right) = ;\frac{{2\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x + 1} \right)}} $$

Fragments

Make content appear incrementally

{{% fragment %}} One {{% /fragment %}}
{{% fragment %}} **Two** {{% /fragment %}}
{{% fragment %}} Three {{% /fragment %}}

Press Space to play!

One Two Three

A fragment can accept two optional parameters:

class: use a custom style (requires definition in custom CSS)
weight: sets the order in which a fragment appears

Speaker Notes

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Customize the slide style and background

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{{< slide background-color="#0000FF" >}}
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Custom CSS Example

Let’s make headers navy colored.

Create assets/css/reveal_custom.css with:

.reveal section h1,
.reveal section h2,
.reveal section h3 {
  color: navy;
}

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Wed, 27 Apr 2016 00:00:00 +0000

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Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000