Teselaciones, retículas y polinomios en espacios lente

Variedades: espacios que de cerca se ven euclidianos

Una

n

-variedad es un espacio que, localmente, se parece a

\mathbb{R}^n

.

[Sources] - Figura generada por scripts/motivation_figures.py (matplotlib); sin imágenes generativas. - Hechos estándar de topología de variedades; ninguna afirmación específica del artículo.

La idea es evitar la definición formal. Lo que quiero que se quede es el contraste, y por eso los tres ejemplos son la misma familia: $S^1$ , $S^2$ , $S^3$ . Los dos primeros los dibujo completos; el tercero no, y el hueco del dibujo es deliberado.

Conviene decirlo sin misterio: $S^n$ es la esfera unitaria de $\mathbb{R}^{n+1}$ , y la dimensión de más no es un accidente del dibujo. Ninguna $n$ -variedad cerrada se encaja en $\mathbb{R}^n$ : por invariancia del dominio su imagen sería abierta, y al ser compacta también cerrada, así que ocuparía todo $\mathbb{R}^n$ . Por eso $S^1$ tampoco cabe en la recta ni $S^2$ en el plano. Lo único que cambia con $S^3$ es que la dimensión de más ya no la tenemos disponible para dibujar. No hace falta enunciar esto en voz alta; sirve si alguien pregunta por qué no se puede.

Lo importante es que la fila de abajo sí está completa: de $S^3$ conocemos perfectamente sus vecindades, son bolas de $\mathbb{R}^3$ . La información local la tenemos toda; la que falta es la global, la de cómo se pegan esas bolas. De ahí sale la necesidad de describir estas variedades por instrucciones de pegado en vez de por dibujos, que es justo lo que harán las siguientes dos láminas.

En dimensiones $1$ y $2$ la clasificación está completa

Dimensión 1

Solo hay una variedad cerrada y conexa: la circunferencia

S^1

.

Dimensión 2

Las cerradas, conexas y orientables son exactamente las

\Sigma_g

: una por cada género

g\ge 0

.

[Sources] - Figura generada por scripts/motivation_figures.py. - Clasificación de superficies cerradas: resultado clásico (Möbius, Jordan, Dehn–Heegaard). - El caso de dimensión 3 se detalla en el resto de la charla; ver main.tex.

La lámina se queda en dimensiones 1 y 2 a propósito: es la única parte de la historia que está cerrada, y conviene dejarla dicha limpiamente antes de tocar dimensión 3. El punto es el tipo de respuesta, no solo el hecho: en dimensión 2 hay una lista y el invariante que la ordena es un entero, el género.

La dimensión 3 la dejo para decirla en voz alta aquí, sin ponerla en pantalla: no hay nada equivalente. La geometrización describe los pedazos, pero no entrega una lista de invariantes computables que separe todo. De ahí que tenga sentido atacar familias concretas, y las siguientes láminas van directo a la que nos interesa.

Partir en piezas más sencillas

En cada dimensión las dos piezas son lo más sencillo posible: arcos, discos, toros sólidos.

Lo que determina a la variedad no son los pedazos, sino cómo se pegan.

[Sources] - Figura generada por scripts/motivation_figures.py. - Existencia de la descomposición de Heegaard: resultado clásico, vía triangulaciones. - El caso de género uno es el punto de partida de main.tex, §2.

La escalera hace el trabajo: $S^1$ se parte en dos arcos pegados en dos puntos, $S^2$ en dos discos pegados por un círculo, $S^3$ en dos toros sólidos pegados por un toro. En cada paso las dos piezas son lo más sencillo posible y toda la información se traslada al pegado. El teorema general dice que esto siempre se puede hacer en dimensión 3. Aquí es donde conviene subrayar que el pegado $\varphi$ es el dato: las piezas no distinguen nada, la manera de pegarlas lo distingue todo. Con género 1 y pegado determinado por $(p,q)$ aparecen los espacios lente. Si alguien pregunta: bajo la convención usual, la lista de género uno incluye $S^3$ y $S^1\times S^2$ como casos degenerados $L(1,0)$ y $L(0,1)$ ; en el resto de la charla trabajamos con $p\ge 1$ .

Por qué $S^3$ es la unión de dos toros sólidos

Tomemos un toro sólido estándar

V_1\subset\mathbb{R}^3

. En

S^3=\mathbb{R}^3\cup\{\infty\}

, el eje que atraviesa su agujero se cierra formando un círculo.

El exterior

V_2=S^3\setminus\operatorname{int}(V_1)

es otro toro sólido, con ese círculo como núcleo. Por tanto,

S^3=V_1\cup_{T^2}V_2

.

[Sources] - Figura generada por scripts/motivation_figures.py; el último panel representa un engrosamiento esquemático de los dos núcleos enlazados, no el complemento literal en la carta de $\mathbb{R}^3$ . - Descomposición de género uno de $S^3$ : clásica; ver p. ej. Rolfsen, Knots and Links, cap. 2.

Ésta es la lámina que contesta la pregunta obvia de la anterior: en $S^1$ y $S^2$ se ve de inmediato cómo son las dos piezas, pero que dos toros sólidos den una esfera de dimensión 3 no se ve. El argumento del complemento lo vuelve visible.

La hipótesis de que $V_1$ es estándar —es decir, no anudado— no es un tecnicismo: si el núcleo de $V_1$ fuera un nudo no trivial, la cerradura del complemento de $V_1$ no sería un toro sólido. Equivalentemente, un nudo es trivial precisamente cuando su exterior es un toro sólido. Por eso la palabra está en la lámina.

El tercer panel hay que decirlo con cuidado, y por eso la advertencia va en pantalla y no solo aquí: dos toros sólidos acotados y enlazados dentro de $\mathbb{R}^3$ dejan hueco entre ellos, así que el dibujo no puede mostrar que llenen $S^3$ . Lo que sí es literal es el enlace: en $S^3$ los núcleos de $V_1$ y $V_2$ forman el enlace de Hopf, y $V_2$ es de verdad la cerradura del complemento de $V_1$ .

La versión algebraica, por si alguien la pide, cabe en un renglón: tras redondear las esquinas, $D^2\times D^2\cong D^4$ y $S^3\cong\partial(D^2\times D^2) =(S^1\times D^2)\cup_{S^1\times S^1}(D^2\times S^1).$ Son dos toros sólidos, y el pegado inducido identifica el meridiano de cada uno con la longitud del otro. Éste es el pegado $\varphi$ ; modificarlo produce el resto de los espacios lente.

De dos toros sólidos a dos curvas

El pegado queda codificado por

\alpha

y

\beta

; en

S^3

se cortan una vez.

[Sources] - Figura generada por scripts/motivation_figures.py; las curvas se calculan sobre los toros y se funden con las superficies para respetar las oclusiones. - Descripción de una descomposición de Heegaard de género uno mediante dos meridianos; ver main.tex, §2.

Fijamos la convención $S^3=V_1\cup_\varphi V_2$ con $\varphi:\partial V_2\to\partial V_1$ . Llamamos $\alpha\subset\partial V_1$ al meridiano de $V_1$ y $\beta\subset\partial V_1$ a la imagen mediante $\varphi$ del meridiano de $V_2$ . Así, desde que aparecen en la lámina, ambas letras nombran curvas sobre la misma superficie de referencia.

En el caso de $S^3$ , $\beta$ es una longitud de $V_1$ , de modo que corta una sola vez al meridiano $\alpha$ . Éste es el dato esencial del pegado. Si la imagen del meridiano de $V_2$ fuera también meridiana en $\partial V_1$ , el resultado sería $S^1\times S^2$ , no $S^3$ .

La figura separa primero $\alpha$ y $\beta$ sobre dos copias de $\partial V_1$ para que se reconozcan sus pendientes; el último panel las superpone sobre la misma copia. Ésta es la compresión conceptual que necesitamos: dos toros sólidos y un homeomorfismo se sustituyen por dos curvas sobre un toro. Para otros espacios lente se conserva $\alpha$ y se cambia la pendiente de $\beta$ ; en la lámina siguiente, la $\beta$ de $L(p,q)$ corta a $\alpha$ en $p$ puntos. En género $g$ , la misma idea usa $g$ meridianos de cada cuerpo con asas.

La esfera de Poincaré

Poincaré la introdujo como ejemplo de una 3-variedad con la misma homología que $S^3$ que no es

S^3

.

Su grupo fundamental no es trivial: tiene orden

120

.

El género de Heegaard es

2

: dos curvas

\alpha

y dos

\beta

sobre

\Sigma_2

.

[Sources] - assets/source/EsferaPoincare12V.pdf, PDF vectorial propio; scripts/export_assets.sh lo rasteriza a assets/reproducible/poincare-diagrama.png. - Esfera de homología de Poincaré: género de Heegaard $2$ , $H_1=0$ , $\pi_1$ el grupo icosaédrico binario de orden $120$ . - Poincaré, Cinquième complément à l’analysis situs (1904).

Aquí hay un diagrama concreto, después de tres láminas explicando el formato. Conviene dejar que lo vean unos segundos antes de hablar.

Poincaré construyó este ejemplo en 1904, en el Cinquième complément à l’analysis situs, y lo hizo mediante un diagrama de Heegaard de género dos. Vale la pena mencionarlo: el formalismo de la lámina anterior es el que produjo el ejemplo, no una reformulación posterior.

Conviene ser preciso si alguien dice «homología trivial»: para una 3-variedad cerrada, conexa y orientable siempre $H_0=H_3=\mathbb{Z}$ , así que lo que se anula es $H_1$ (y $H_2$ ). El enunciado correcto es que tiene la homología de $S^3$ . Su $\pi_1$ es el grupo icosaédrico binario, de orden $120$ .

Sobre el dibujo: en género dos el diagrama ya lleva cuatro curvas. En género uno cabe en un cuadrado y se vuelve una retícula, que es donde se puede calcular y enumerar. Ésa es la razón de que la charla se quede en género uno.

Encajes celulares

Un grafo

G\subset\Sigma

está encajado celularmente si

\Sigma\setminus G

es una unión disjunta de discos.

¿Bajo qué condiciones una 3-variedad admite un diagrama de Heegaard celular?

[Sources] - Figura generada por scripts/motivation_figures.py. - El encaje celular es la hipótesis que convierte al grafo en un ribbon graph, que es el objeto sobre el que está definido el polinomio de Bollobás–Riordan. - Los dos ejemplos de la figura son los diagramas de género uno de $S^3$ y de $S^1\times S^2$ , los mismos de la lámina anterior.

La definición se enuncia rápido y los dos ejemplos hacen el resto. A la izquierda es el diagrama de $S^3$ : $\alpha$ meridiano y $\beta$ longitud, que se cortan una vez. Al cortar el toro por las dos curvas queda el cuadrado fundamental, es decir, un solo disco. A la derecha $\beta$ es otro meridiano, paralelo a $\alpha$ : no se cortan, y el complemento son dos anillos. Ése es el caso $S^1\times S^2$ , y en género uno no hay manera de arreglarlo.

Por qué importa: sin la condición celular no hay caras que recorrer y el sistema de rotación ya no determina el encaje. El grafo no es un ribbon graph y el polinomio ni siquiera está definido. Toda la maquinaria de la charla presupone esta hipótesis.

La pregunta se plantea y se deja abierta. Lo que sí conviene decir es la reformulación: pedir que el diagrama sea celular equivale a pedir que las curvas $\alpha\cup\beta$ llenen la superficie, es decir, que ninguna curva cerrada simple esencial de $\Sigma$ sea disjunta de ellas. Para los espacios lente con $p\ge 1$ la condición se cumple siempre, y por eso son el terreno donde el polinomio se puede calcular.

Irreducibilidad y finitud

3-manifold polynomials

J. Frías · J. C. Gómez-Larrañaga · J. L. León-Medina · F. Manjarrez-Gutiérrez

arXiv:2510.06651

Si

M

es irreducible, el grafo de Heegaard asociado a un diagrama suyo está encajado celularmente. El contraejemplo de la lámina anterior,

S^1\times S^2

, es precisamente reducible.

Entre los que provienen de descomposiciones de género mínimo y tienen el mínimo número de vértices —los cortes

|\alpha\cap\beta|

— solo hay una cantidad finita, salvo equivalencia de grafos encajados.

Esa finitud es la que permite definir polinomios de 3-variedades: basta evaluarlos sobre representantes de esas clases.

[Sources] - Frías, Gómez-Larrañaga, León-Medina, Manjarrez-Gutiérrez, 3-manifold polynomials, arXiv:2510.06651 (v1: 8 oct 2025; v2: 18 ago 2026). - Del resumen: «Given a Heegaard diagram of an irreducible 3-manifold $M$ , we associate a Heegaard graph $G\subset S$ on the Heegaard surface and restrict to those arising from minimal-genus splittings with a minimal number of vertices. We prove that, up to the natural equivalence of embedded graphs, only finitely many of such minimal Heegaard graphs occur for a fixed manifold.»

Ésta es la lámina que contesta la pregunta de la anterior, y conviene decirlo en ese orden: primero la pregunta, luego que ya está contestada.

La hipótesis de irreducibilidad no es un tecnicismo añadido: el único ejemplo no celular que enseñé, $S^1\times S^2$ , es el ejemplo estándar de 3-variedad reducible —contiene una $S^2$ que no acota una bola—. Es decir, el caso que se sale es exactamente el que la hipótesis excluye.

Las dos condiciones de minimalidad hacen falta las dos. Sin pedir género mínimo, la estabilización produce diagramas de género arbitrariamente grande y la finitud se pierde; sin pedir vértices mínimos, dentro de un mismo género hay infinitos diagramas. Juntas dejan un conjunto finito de clases, y ahí sí se puede definir el invariante evaluando el polinomio en representantes.

Si hay tiempo, dos consecuencias del mismo trabajo que enlazan con lo ya visto: para los espacios lente los grafos de Heegaard se clasifican por completo y la clasificación coincide con la clásica de $L(p,q)$ ; y para la esfera de Poincaré, diagramas minimales distintos dan polinomios de ribbon graph que coinciden.

Diagramas de Heegaard de género uno

Superficie de Heegaard de $L(3,2)$

$\longrightarrow$

Cuadrado fundamental

$L(p,q)=V_\alpha\cup_\varphi V_\beta,\qquad |\alpha\cap\beta|=p.$

\alpha

es un meridiano.

\beta

lo corta en

p

puntos y en cada vuelta avanza $q$ de ellos: ése es el paso

q

del grafo circulante que aparece enseguida.

[Sources] - Grafos en Superficies/quarto/capitulos/09-espacios-lente.qmd. - Grafos en Superficies/quarto/imagenes/grafotoro.png y grafotorodiagrama.png. - Activos copiados reproduciblemente por scripts/export_assets.sh. - Convención: $\varphi(\mu_\beta)=p\,\lambda_\alpha+q\,\mu_\alpha$ , de donde $|\alpha\cap\beta|=p$ ; la misma de main.tex, §2.

Un espacio lente se obtiene pegando dos toros sólidos. Aquí $\alpha$ es el meridiano de $V_\alpha$ y $\beta$ es la imagen del meridiano del otro toro; no es un segundo meridiano. Se cortan en $p$ puntos, que son los vértices del grafo celular sobre el toro. El ejemplo $L(3,2)$ aparece dos veces: sobre el toro y en el cuadrado fundamental.

Cuidado con llamarle «pendiente $q$ » a secas: la clase de $\beta$ es $p\,\lambda_\alpha+q\,\mu_\alpha$ , así que su pendiente en el toro es $q/p$ , y como coeficiente de cirugía sobre el nudo trivial es $p/q$ . Además $\beta$ solo es una longitud cuando $q\equiv 0$ . Lo que sí es literalmente $q$ es el paso: numerando los $p$ cortes en orden a lo largo de $\alpha$ , cada vuelta de $\beta$ lleva el punto $k$ al punto $k+q$ . Por eso el grafo es el circulante $C_p(\pm1,\pm q)$ , con el paso $1$ recorriendo $\alpha$ y el paso $q$ recorriendo $\beta$ .

Conviene cerrar el círculo con los dos ejemplos anteriores, porque son los extremos de la familia. Con $p=1$ y $q=0$ , $\beta$ es una longitud, no hay pendiente y sale $S^3$ . Con $p=0$ y $q=1$ , $\beta$ es un meridiano paralelo a $\alpha$ , no hay cortes y sale $S^1\times S^2$ , que es el caso no celular. Todo lo demás, con $p\ge 1$ y $\gcd(p,q)=1$ , son los espacios lente propiamente dichos.

Dos permutaciones codifican el diagrama de $L(3,2)$

Las etiquetas

1,\ldots,12

son las semiaristas del mapa.

sigma rota alrededor de cada vértice $\sigma=(1\,2\,3\,4)(5\,6\,7\,8)(9\;10\;11\;12).$ Sus $3$ ciclos son los puntos de $\alpha\cap\beta$ .

rho empareja las semiaristas $\rho=(1\;7)(2\;8)(3\;9)(4\;10)(5\;11)(6\;12).$ Sus $6$ transposiciones son las aristas $e_i$ y $f_i$ .

rho * sigma recorre las caras $\phi=\rho\sigma=(1\;8\;3\;10)(2\;5\;12\;7)(4\;11\;6\;9).$ Por ejemplo, la primera cara se recorre alternando: $\begin{aligned} 1&\xrightarrow{\rho}7\xrightarrow{\sigma}8 \xrightarrow{\rho}2\xrightarrow{\sigma}3\\[-.15em] &\xrightarrow{\rho}9\xrightarrow{\sigma}10 \xrightarrow{\rho}4\xrightarrow{\sigma}1. \end{aligned}$

|V|=3,\ |E|=6,\ |F|=3

\Longrightarrow

\chi=3-6+3=0

: el mapa recuerda que el encaje vive en

T^2

.

[Sources] - Grafos en Superficies/quarto/capitulos/09-espacios-lente.qmd, §2 y §4. - Grafos en Superficies/quarto/imagenes/grafotorodiagrama.png. - reproducibility/z2_domain_graph_enumerator.py, funciones build_dart_data e infer_invariants. - BR_explorer.py, funciones JavaScript alpha, sigma y computeBR.

Las permutaciones están escritas con las etiquetas geométricas 1,...,12 de la figura. Al seguir los segmentos del cuadrado se obtienen los pares verticales $(1,7),(3,9),(5,11)$ y los diagonales $(2,8),(4,10),(6,12)$ ; ésta es exactamente la involución rho del experimento Sage en la fuente de la figura. Elegimos la rotación toroidal sigma=(1,2,3,4)(5,6,7,8)(9,10,11,12). Seguimos la convención de Grafos en Superficies: el mapa es $(D,\sigma,\rho)$ y las caras son los ciclos de $\phi=\rho\sigma$ , con multiplicación de izquierda a derecha en Sage. Así, $1\mapsto8\mapsto3\mapsto10\mapsto1$ , $2\mapsto5\mapsto12\mapsto7\mapsto2$ y $4\mapsto11\mapsto6\mapsto9\mapsto4$ . En el enumerador JavaScript, la misma involución se llama internamente alpha y el recorrido se escribe sigma(alpha(d)). La rotación inversa da la otra orientación del mismo encaje no orientado. En un subgrafo $F$ , el recorrido omite la involución en los dardos de aristas ausentes y produce $f(F)$ , que entra en el género ribbon y en el polinomio de Bollobás–Riordan.

Del grafo al espacio lente

Clasificación salvo homeomorfismo

$L(p,q)\cong L(p,q') \quad\Longleftrightarrow\quad q'\equiv\pm q^{\pm1}\pmod p.$

C_{p,q}

⟶sistema de rotación

G_{p,q}

⟶determina

L(p,q)

↓

polinomio de Tutte

polinomio de Bollobás–Riordan

C_{p,q}

es el grafo abstracto;

G_{p,q}

es el mismo grafo con su encaje en el toro.

[Sources] - main.tex, §2 y §3; Frías et al., arXiv:2510.06651. - Especialización: con la normalización de la lámina siguiente, $R_G(x,y,1)=T_G(x,y+1)$ .

La lámina debe abrir con la clasificación: para $p$ fijo, dos espacios lente son homeomorfos exactamente cuando sus parámetros pertenecen a la misma órbita bajo cambio de signo e inversión. El entero $p$ también es un invariante topológico, pues $|H_1(L(p,q))|=p$ . La inversión corresponde a intercambiar los dos toros sólidos de la descomposición de Heegaard; el signo recoge el cambio de orientación.

Debajo aparece el mapa de la charla. Los tres objetos contienen cada vez más información: $C_{p,q}=C_p(\pm1,\pm q)$ es sólo el grafo circulante; $G_{p,q}$ le agrega el sistema de rotación, es decir, el encaje celular en el toro; y ese encaje determina el espacio lente.

Los dos polinomios cuelgan de niveles distintos, y ahí está el argumento de por qué usamos Bollobás–Riordan. El de Tutte está definido sobre el grafo abstracto, así que no puede ver nada que dependa del encaje; de hecho se recupera del de Bollobás–Riordan evaluando $z=1$ , que es exactamente olvidar las caras. Como $C_{p,q}$ y $C_{p,q'}$ pueden coincidir sin que $L(p,q)$ y $L(p,q')$ sean homeomorfos, el de Tutte no basta y el de Bollobás–Riordan es el candidato natural.

El nivel $L(p,q)$ está en la cadena para recordar qué se quiere distinguir, pero el trabajo de la charla ocurre en los dos primeros. No se intenta recuperar un representante particular de $q$ , sino precisamente la órbita que aparece en la clasificación de la parte superior.

Cálculo del polinomio de Bollobás–Riordan

$R_G(x,y,z)= \sum_{F\subseteq E(G)} (x-1)^{r(G)-r(F)} y^{n(F)} z^{k(F)-f(F)+n(F)}.$

$k(F)$ : componentes $e(F)$ : aristas $v(F)$ : vértices $f(F)$ : caras $g(F)$ : género

r(F)=v(F)-k(F)

rango ·

n(F)=e(F)-r(F)

nulidad

La suma recorre los

2^{2p}

subgrafos abarcadores de

G_{p,q}

: todos los vértices, cualquier subconjunto de aristas. En adelante escribimos

X=x-1

.

Base de datos y explorador público ↗

Ejemplo calculado en SageMath: $R_{5,2}(X,y,z)$

$\begin{aligned} R_{5,2}={}&y^6z^2+10y^5z^2+45y^4z^2+5Xy^3z^2+105y^3z^2\\ &+20Xy^2z^2+105y^2z^2+10y^3+10Xy^2+70y^2\\ &+10X^2y+65Xy+147y+X^4+6X^3+21X^2+46X+51. \end{aligned}$

18 monomios

\deg_X R_{5,2}=4=p-1

: el grado en

X

ya devuelve

p

El polinomio dibuja una escalera

En la columna

t

S_t

es la celda ocupada más alta.

Un representante de la celda verde:

X^7y^2z^2

.

Abrir

L(16,7)

en vivo ↗

Del toro al plano: el grafo se levanta a una red periódica

en

\mathbb Z^2

: el levantamiento periódicoen

T^2

: el subgrafo seleccionado

Es el mismo extremal que realiza

S_2=7

en

L(16,7)

.

[Sources] - main.tex, lema de Euler para subgrafos de género uno y reducción de los extremales de nulidad dos. - ESTADO_Y_RUTA_PUBLICACION_2026-08-02.md, caracterización corregida de $S_2$ .

La captura se generó directamente desde Llite16_7.html seleccionando el botón “Árbol Steiner”. A la derecha está el subgrafo finito sobre el toro; a la izquierda, todas sus traslaciones en la cubierta cuadriculada. Tiene nulidad $2$ , género $1$ y el mínimo número posible de aristas entre los representantes de ese nivel. Por eso realiza $S_2=7$ .

En general, para un subgrafo abarcador $F$ con $n(F)=t$ , se tiene $e(F)=p+t-k(F)$ . Como el exponente de $X$ es $s=k(F)-1$ , maximizar $s$ equivale a minimizar $e(F)$ y $S_t=p+t-1-\min_{g(F)=1,\,n(F)=t}e(F).$ Al quitar puentes colgantes de un minimizador no cambian ni la nulidad ni el género; el núcleo resultante es un shortest cut graph del toro.

El patrón periódico recuerda $q$

horizontal sumar

1

a+bq\equiv0\pmod p

vertical sumar

q

Las soluciones son exactamente las traslaciones que repiten el dibujo.

[Sources] - Explorador reproducible L16_7.html, con el representante de Steiner seleccionado. - main.tex, definición de la retícula de ciclos y proposición $G_{p,q}\cong\operatorname{Grid}(\mathbb Z^2)/\Lambda_{p,q}$ .

Ésta reemplaza la antigua lámina sobre la “lattice” por una explicación que cabe decir. En la cuadrícula universal un paso horizontal suma $1$ y uno vertical suma $q$ en $\mathbb Z/p\mathbb Z$ . Un desplazamiento $(a,b)$ regresa al mismo vértice precisamente cuando $a+bq\equiv0\pmod p$ . Esos desplazamientos forman la retícula $\Lambda_{p,q}=\{(a,b)\in\mathbb Z^2:a+bq\equiv0\pmod p\}.$ El levantamiento del núcleo que realiza $S_2$ es una red rectilínea $\Lambda_{p,q}$ -periódica. Equivalentemente, se obtiene trasladando un árbol rectilíneo de Steiner que conecta $0$ con dos generadores de la retícula. La siguiente lámina convierte esa longitud en el perímetro del dominio fundamental y muestra la fórmula exacta de $S_2$ .

$S_2$ es un problema de perímetro mínimo

Los representantes que realizan

S_2

delimitan dominios fundamentales de perímetro mínimo.

$S_2=p+1-\frac12 P_{\min}.$

Fórmula cerrada

$\boxed{ S_2=p+1- \min_{\{u,v\}\,\text{base de }\Lambda_{p,q}} \frac{ \lVert u\rVert_1+\lVert v\rVert_1+ \min\!\left\{\lVert u-v\rVert_1,\lVert u+v\rVert_1\right\} }{2} }$

La mitad del perímetro es la longitud del árbol rectilíneo de Steiner.

[Sources] - main.tex, caracterización de $S_2$ mediante MGRST y relación extremal–perímetro. - ESTADO_Y_RUTA_PUBLICACION_2026-08-02.md, “Caracterización correcta de $S_2$ ”. - NOTAS_CORRECCIONES_2026-07-30.md, corrección de orientación de las bases.

Para $t=2$ , la relación entre el exponente extremo y el dominio fundamental es $s(F)=p+1-\frac12\ell(\partial D).$ Por tanto, maximizar $s(F)$ equivale a minimizar el perímetro. Si $\{u,v\}$ es una base de la retícula de ciclos, el levantamiento del núcleo conecta $\{0,u,v\}$ mediante un árbol rectilíneo de Steiner. Su longitud mínima es $\tau^\pm(u,v)=\frac12\left( \lVert u\rVert_1+\lVert v\rVert_1+ \min\{\lVert u-v\rVert_1,\lVert u+v\rVert_1\} \right).$ La frontera del dominio recorre cada arista de la red por sus dos lados, de modo que $P_{\min}=2\min\tau^\pm$ . Sustituir esta igualdad produce la fórmula cerrada de la lámina.

El mínimo debe tomarse sobre bases y también sobre la orientación: cambiar $v$ por $-v$ intercambia $u-v$ con $u+v$ . La escritura con $\tau^\pm$ incorpora esa corrección y evita afirmar que cualquier base $L_1$ -reducida alcanza automáticamente el mismo valor.

El valor $S_2$ no determina la forma

L(13,3)

espacios distintos

mismo

S_2=6

L(13,5)

Para recorrer la escalera, cerramos cuadrados

partimos de

S_2

(t,S_t)=(2,7)

cerrar un ciclo⟶

primer cierre

(t,S_t)=(3,6)

cerrar otro⟶

segundo cierre

(t,S_t)=(4,6)

Cada cierre aumenta

t

en uno: primero hay una caída y después una meseta.

[Sources] - Llite16_7.html, estados reproducidos por scripts/export_assets.sh. - NOTAS_CORRECCIONES_2026-07-30.md, caracterización local de las mesetas. - BUSQUEDA_COMPUTACIONAL_2026-07-30.md, cadenas extremales por movimientos canónicos. - main.tex, operaciones de absorción y saturación en dominios periódicos.

Ésta es la versión estática del juego que antes se hacía en el explorador. Los tres paneles son recortes del levantamiento periódico real para $L(16,7)$ , no dibujos esquemáticos. El primero es el representante Steiner que realiza $X^7y^2z^2$ . Para el segundo se añaden $e_8$ y $f_8$ : se cierra un nuevo ciclo y se obtiene $(s,t,g)=(6,3,1)$ . Para el tercero se añade $e_7$ : se cierra el ciclo contiguo y se obtiene $(s,t,g)=(6,4,1)$ .

Así, el primer movimiento muestra una caída, $S_3=6<S_2=7$ , mientras que el segundo muestra una meseta, $S_4=S_3=6$ . En la cubierta cada arista seleccionada se repite por traslaciones de la retícula. Los recortes muestran una región suficientemente amplia para reconocer la teselación completa y, a la vez, seguir los cierres locales.

La banda inferior es un recorte del perfil real de $L(16,7)$ . Los tres marcos señalan, de izquierda a derecha, las celdas extremales $(2,7)$ , $(3,6)$ y $(4,6)$ que realizan los grafos superiores.

Una regla demasiado fuerte falla

Hay extremales de

S_3

que no contienen ningún extremal de

S_2

.

Pero aparecen en una caída:

S_3=2<S_2=3

.

Conjetura: las mesetas sí nacen en $S_2$

Si

S_t=S_{t-1}>0

…

S_2

cerrar cuadrados⟶

S_3

continuar⟶

\cdots

continuar⟶

S_t

…todo extremal de esa meseta puede alcanzarse comenzando en un extremal de

S_2

.

Verificado exhaustivamente para todas las órbitas no triviales con

5\le p\le13

.

[Sources] - BUSQUEDA_COMPUTACIONAL_2026-07-30.md, búsqueda exhaustiva de cadenas extremales y contraejemplos fuera de mesetas. - main.tex, Conjetura de baja fase y teorema condicional de separación. - NOTAS_CORRECCIONES_2026-07-30.md, rigidez esperada y caracterización local de las mesetas.

La restricción a mesetas positivas es esencial. “Nacer en $S_2$ ” significa admitir una filtración completa de configuraciones extremales que comienza en un representante que realiza $S_2$ y continúa mediante los movimientos locales canónicos; en el modelo dual son absorciones de cuadrados o tiras. Los contraejemplos de $L(8,3)$ están en niveles donde el perfil cae, así que no contradicen esta formulación.

La evidencia citada es computacional, no una demostración: se revisaron exhaustivamente las órbitas no triviales con $5\le p\le13$ y no apareció ninguna excepción en una meseta positiva. La frase en pantalla evita afirmar que la conjetura ya está probada.

Conjetura

Si la conjetura es cierta

$R_{p,q}=R_{p',q'} \quad\Longrightarrow\quad p=p',\quad q'\equiv\pm q^{\pm1}\pmod p \quad\Longrightarrow\quad L(p,q)\cong L(p',q').$

El polinomio de Bollobás–Riordan distinguiría todos los espacios lente.

El paso pendiente es una isoperimetría restringida para poliominós periódicos.

[Sources] - main.tex, teorema condicional de separación y argumento de completitud. - ESTADO_Y_RUTA_PUBLICACION_2026-08-02.md, formulación del obstáculo isoperimétrico restante. - NOTAS_CORRECCIONES_2026-07-30.md, reducción a isoperimetría restringida por la retícula.

Esta lámina separa visualmente la hipótesis de la consecuencia. La ascendencia de mesetas permitiría identificar sus coeficientes con conteos de descendientes de los dominios Steiner-minimizantes. El argumento aritmético del manuscrito usa los lugares donde esos conteos se anulan para separar las fibras simétricas restantes. Combinado con la reconstrucción ya demostrada en los otros casos, se obtiene la implicación mostrada.

No hay que presentar la última línea como teorema probado: la dominancia de los dominios canónicos dentro de la clase de poliominós admisibles sigue siendo el problema isoperimétrico pendiente. Una forma breve de cerrar oralmente es: “el cálculo ya nos enseñó qué enunciado geométrico falta; demostrarlo convertiría al polinomio en un invariante completo de esta familia”.

Gracias por su atención

luis.leon@cimat.mx