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Álgebras de von Neumann (Maestría, 2do semestre 2023)
Método de calificación: Tareas.
Observaciones y ejercicios. La referencia principal es
Fundamentals of the Theory of Operator Algebras Volume I and
II: Elementary Theory de Kadison y Ringrose.
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Tarea 1, asignada el 23 de agosto para entregar el 30 de
agosto. Resolver los problemas 2.8.33.
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Notas: En espacios de Banach la
completitud secuencial implica completitud en redes.
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Tarea 2, asignada el 30 de agosto para entregar el 6 de
septiembre. Enunciar y demostrar las Proposiciones
2.5.13 y 2.5.14.
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Tarea 3, asignada el 6 de septiembre para entregar el 13
de septiembre. Resolver los problemas 5.7.1 y 5.7.2.
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Tarea 4, asignada el 20 de septiembre para entregar el
27 de septiembre. Resolver los problemas 5.7.4 y 5.7.5.
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Tarea 5, asignada el 27 de septiembre para entregar el 9
de octubre. Enunciar y demostrar el Teorema 5.2.9. Sin
necesidad de entregar: leer los enunciados 5.2.10 a
5.2.13 junto con sus demostraciones.
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Tarea 6, asignada el 11 de octubre para entregar el 18
de octubre. Resolver los problemas 5.7.10, 5.7.30 y
5.7.31.
C*-Álgebras (Maestria, 1er semestre 2023)
Metodo de calificacion: Tareas.
Observaciones y ejercicios. La referencia principal es
Fundamentals of the Theory of Operator Algebras Volume I:
Elementary Theory de Kadison y Ringrose.
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Tarea 1, asignada el 26 de enero para entregar el 2 de
febrero. Escribir las demostraciones de las
Proposiciones 3.2.8 y 3.2.10.
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Tarea 2, asignada el 2 de febrero para entregar el 9 de
febrero. Enunciar y probar el Teorema 3.3.1. Sugerencia:
Usar la fórmula integral de Cauchy (5) de la página 204
y un argumento similar al usado para el caso de
funciones a valores complejos.
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Tarea 3, asignada el 9 de febrero para entregar el 16 de
febrero. Escribir las demostraciones de los Teoremas
3.3.6 y 3.3.8.
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Tarea 4, asignada el 16 de febrero para entregar el 28
de febrero. Escribir las demostraciones del Lema 3.4.6 y
del Corolario 3.4.8. (Para la definición de linear order
isomorphism ver el párrafo anterior al enunciado del
Corolario 3.4.8)
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Tarea 5, asignada el 28 de febrero para entregar el 9 de
marzo. Resolver los problemas 3.5.43 y 3.5.45.
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Tarea 6, asignada el 9 de marzo para entregar el 16 de
marzo. Escribir la demostración del Teorema 4.1.9.
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Tarea 7, asignada el 23 de marzo para entregar el 30 de
marzo. Escribir la demostración del Corolario 4.2.10.
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Tarea 8, asignada el 30 de marzo para entregar el 18 de
abril. Resolver el problema 4.6.60.
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Tarea 9, asignada el 20 de abril para entregar el 2 de
mayo. Escribir la demostración del Teorema 4.3.6.
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Tarea 10, asignada el 2 de mayo para entregar el 9 de
mayo. Escribir la demostración del Teorema 4.4.5.
-
Notas de la clase del 9 de mayo.
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Tarea 11, asignada el 16 de mayo para entregar el 23 de
mayo.
-
Definir la topología fuerte de operadores en el
espacio $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ de operadores
acotados en un espacio de Hilbert
$\mathcal{H}$. (Ver la página 113).
-
Siguiendo la Observación 2.5.10, probar las
siguientes afirmaciones para
$\mathcal{B}(\mathcal{H})$.
-
(a) Las operaciones de espacio vectorial son
continuas en la topología fuerte de operadores.
-
(b) Para cada $T \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$
fijo los mapeos $S \longmapsto ST$ y $S
\longmapsto TS$ son continuos en la topología
fuerte de operadores.
-
(c) El producto $(S,T) \longmapsto ST$ es
continuo en la topología fuerte de operadores
cuando restringimos el dominio con la condición
$\|S\| \leq k$ para $k > 0$ fijo.
-
(d) El mapeo $T \longmapsto T^*$ es continuo en
la topología fuerte de operadores cuando se
restringe al subconjunto de operadores normales.
-
Resolver el problema 2.8.32.
Analisis Armonico (Maestria, 2do semestre 2022)
Metodo de calificacion: 2 examenes parciales (2/3) y tareas (1/3).
Observaciones y ejercicios. La referencia principal es Real Analysis, Folland, second edition
-
Tarea 1, asignada el 17 de agosto para entregar el 24 de
agosto.
-
Sea $f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{C}$ una
funcion. Probar que $f$ es uniformemente continua si
y solo si se cumple $\lim_{y \to 0} \|\tau_y f -
f\|_\infty = 0$.
- Escribir la demostración del Lema 8.4 en la
pagina 238.
-
Tarea 2, asignada el 26 de agosto para entregar el 31 de
agosto.
-
Escribir la demostracion del Teorema 2.27 en la
pagina 56.
-
Sea $G$ un grupo finito y considere el algebra de
grupo $(\mathbb{C}[G],*)$ donde $*$ es la
convolucion definida en clase (puede suponer en este
problema que $\mathbb{C}[G]$ es un algebra
asociativa). En lo sucesivo puede considerar y/o
escoger una enumeracion $G = \{ x_1, \dots, x_n\}$
donde $n$ es el numero de elementos de $G$. Resolver
lo que se indica en los siguientes incisos.
- a) Si $f \in \mathbb{C}[G]$, entonces $A(f) =
(f(xy^{-1}))_{x,y \in G}$ es una matriz $n
\times n$ compleja, una vez que $G$ se ha
enumerado. Mas aun, la asignacion $f \mapsto
A(f)$ es una mapeo lineal inyectivo de espacios
vectoriales complejos.
- b) Calcular $A(e)$ para el elemento identidad
$e$ para cualquier enumeracion de $G$. (Recuerde
que $G \subset \mathbb{C}[G]$)
- c) Probar que para toda enumeracion $G = \{
x_1, \dots, x_n\}$ podemos identificar
$\mathbb{C}[G] \simeq \mathbb{C}^n$ como espacio
de vectores columna. Mas aun, bajo esta
identificacion tenemos $f * g = A(f) g$, para
todo $f, g \in \mathbb{C}[G]$, donde el lado
derecho es el producto de una matriz por una
columna.
- d) Usando los incisos anteriores y la
asociatividad de $\mathbb{C}[G]$ (o
alternativamente, un calculo directo), probar que
$A(f * g) = A(f) A(g)$ para cualesquiera $f,g \in
\mathbb{C}[G]$. Concluir que $f \in \mathbb{C}[G]$
es invertible si y solo si $A(f)$ es invertible
con inversa de la forma $A(g)$ para algun $g \in
\mathbb{C}[G]$.
-
Tarea 3: Escribir las demostraciones de los enunciados
8.17 y 8.18 del libro de Folland.
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Tarea 4, asignada el 10 de octubre para entregar el 19
de octubre.
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Escribir la demostración de la proposición 8.24 del
libro de Folland.
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Problema 13 en la página 254 del libro de
Folland. La identidad de Parseval fue discutida en
clase en relación a bases ortonormales y aparece en
la Proposición 5.27(b) del libro de Folland.
-
Problema 14 de la página 254 del libro de
Folland. Después de seguir la sugerencia del libro
de Folland, ver que $\widehat{f}(0) = 0$ y probar
usando integración por partes que $\widehat{f'}(k) =
2\pi i k \widehat{f}(k)$ para todo $k \in \mathbb{Z}
\setminus \{0\}$, y aplicar la identidad de
Parseval.
-
Completar la demostración del Teorema de Plancherel
(8.29 en el libro de Folland) probando la siguiente
afirmación (usar la notación y argumentos del libro
de Folland):
Si $f \in L^1(\mathbb{R}^n) \cap L^2(\mathbb{R}^n)$,
entonces existe una unidad aproximada $(g_t)_t$ de
$L^1(\mathbb{R}^n)$ tal que se cumplen las
siguientes afirmaciones.
- a) $f * g_t \in \mathcal{X}$ para todo $t >
0$.
- b) $f * g_t \to f$, cuanto $t \to 0^+$, en las
normas $L^1$ y $L^2$.
- c) $\widehat{f * g_t} \rightarrow
\widehat{f}$, cuando $t \to 0^+$, uniformemente
y en norma $L^2$, donde $\widehat{(\cdot)}$
denota la transformada de Fourier definida
mediante integración.
Concluir que el mapeo unitario $\mathcal{F} :
L^2(\mathbb{R}^n) \rightarrow L^2(\mathbb{R}^n)$
dado al extender la transformada de Fourier
$\widehat{(\cdot)} : \mathcal{X} \rightarrow
\mathcal{X}$ usando la densidad de $\mathcal{X}$ en
$L^2(\mathbb{R}^n)$ coincide en $L^1(\mathbb{R}^n)
\cap L^2(\mathbb{R}^n)$ con la transformada de
Fourier dada mediante integración. Es decir, para
toda $f \in L^1(\mathbb{R}^n) \cap
L^2(\mathbb{R}^n)$ tenemos
\[
\mathcal{F}(f)(\xi) =
\widehat{f}(\xi) = \int_{\mathbb{R}^n} f(x) e^{-2\pi
i x\cdot \xi} d x
\]
para todo $\xi \in \mathbb{R}^n$.
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Tarea 5, asignada el 9 de noviembre para entregar el 16
de noviembre.
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Problema 59 de la página 77 del libro de Folland.
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Problemas 33 y 34 de la página 269 del libro de
Folland.
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Tarea 6, asignada el 16 de noviembre para entregar el 23
de noviembre.
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Problema 37 de la página 270 del libro de
Folland. Sugerencia: Ver el libro Tables of
Integrals, Series and Products de Zwillinger.
Escuela de Verano del Cimat, 2022.
Notas del taller Analisis Armonico y
Grupos:
4 de julio.
6 de julio.
8 de julio.
Analisis Matematico II (Licenciatura, 1er semestre 2022)
Metodo de calificacion: 3 examenes parciales (25% cada uno) y tareas (25%).
Observaciones y ejercicios. La referencia principal es Real
Analysis, Folland, second edition.
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Tarea 1, asignada el 2 de Febrero para entregar el 9 de Febrero.
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En $\mathbb{R}^n$ considere la familia $\mathcal{E}$
de subconjuntos de la forma $\prod_{j=1}^n I_j$
donde $I_j$ es un intervalo. Probar que
$\mathcal{E}$ es una familia
elemental. Solucion.
-
Probar la proposicion 1.7 del libro de Folland: Si
$\mathcal{E}$ es una familia elemental en un
conjunto $X$, y $\mathcal{A}$ es la coleccion de
uniones finitas disjuntas de elementos de
$\mathcal{E}$, entonces $\mathcal{A}$ es un algebra.
-
Probar el problema 4 en la pagina 24 del libro de
Folland: Si $\mathcal{A}$ es un algebra de
subconjuntos de un conjunto $X$, entonces
$\mathcal{A}$ es una $\sigma$-algebra si y solo si
$\mathcal{A}$ es cerrado bajo uniones numerables
crecientes. Esta ultima condicion significa que si
$E_j \in \mathcal{A}$ para todo $j =1, \dots$ y $E_1
\subset E_2 \subset \dots \subset E_j \subset
\dots$, entonces $\cup_{j=1}^\infty E_j \in
\mathcal{A}$.
-
Tarea 2, asignada el 14 de febrero para entregar el 21
de febrero. Resolver los problemas 9, 10, 13 de la
pagina 27.
-
Notas sobre la completacion de la
medida asociada a una premedida, en relacion al Teorema
1.14 y el problema 18 en la pagina 32.
-
Tarea 3, asignada el 23 de febrero para entregar el 2 de
marzo. Resolver los siguientes problemas de la pagina
32: 17 (sugerencia: probar primero el caso finito, y
despues usar sumas parciales para la serie), 23
(sugerencia: recordar la medida de contar).
-
Notas sobre la regularidad de las
medidas de Lebesgue-Stieljes.
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Tarea 4, asignada el 9 de marzo para entregar el 16 de
marzo. Escribir la demostracion del Teorema
1.21. Resolver el problema 28 de la pagina 39, y el
problema 30 de la pagina 40 (sugerencia: considerar
primero el caso $0 < m(E) < +\infty$, y probar este caso
por contradiccion; luego usar el caso anterior para
probar el caso $m(E) = +\infty$). Para el problema 30,
recordamos que $m$ denota la medida de Lebesgue en
$\mathbb{R}$ y $\mathcal{L}$ denota la $\sigma$-algebra
de subconjuntos Lebesgue medibles de $\mathbb{R}$.
-
Solucion del Problema 31 de la pagina
40.
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Primer examen parcial: viernes 18 de marzo, 8am a 11am,
en el salon G103 del Cimat.
-
Tarea 5, asignada el 28 de marzo para entregar el 4 de
abril. Resolver los problemas 1 y 2 de la pagina
48. Resolver el siguiente problema
-
Sean $f,g : X \rightarrow \overline{\mathbb{R}}$ dos
funciones medibles. Probar que el conjunto $\{ x \in
X \mid f(x) < g(x) \}$ es medible. (Sugerencia: Tenga
cuidado si desea considerar $f-g$ puesto que $\infty
- \infty$ no esta definido.)
Usar el problema anterior para probar el problema 3 de la
pagina 48.
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Notas con las demostraciones de las
Proposiciones 2.11 y 2.12.
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Notas con la demostracion de la
Proposicion 2.20.
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Tarea 6, asignada el 6 de abril para entregar el 25 de
abril. Resolver los siguientes problemas de la pagina
52: 14 (sugerencia: repetir la demostracion usada en
clase para la primera parte, y para la segunda parte
usar la sugerencia del libro y el Teorema de
Convergencia Monotona), 15 (sugerencia: considere la
sucesion $(f_1 - f_n)_n$ y aplique con cuidado el
Teorema de Convergencia Monotona), 16 (sugerencia: usar
la Proposicion 2.20 para suponer que $f$ toma valores
finitos, considerar los conjuntos $E_n = \{x \in X \mid
\frac{1}{n} \leq f(x) \leq n\}$ y usar el problema 14),
17.
-
Tarea 7, asignada el 9 de mayo para entregar el 16 de
mayo. Resolver los siguientes problemas de la pagina 59:
18, 19, 20.
-
Notas con la demostracion del Teorema
2.28.
-
Segundo examen parcial: lunes 16 de mayo, 9:30 a 12:30,
en el salon D707 del Cimat.
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Tarea 8, asignada el 25 de mayo para entregar el 1 de
junio. Resolver los siguientes problemas de la pagina
63: 33, 35, 36. Sugerencia: el Teorema 2.30 es de
utilidad para los problemas 33 y 36.
-
Tercer examen parcial: lunes 13 de junio, 10am a 1pm,
salon G001 del Cimat.
Notas de las clases por bluejeans.
Grupos de Lie (Maestría y Doctorado, 2do semestre 2021)
Observaciones y ejercicios. La referencia principal es
Differential Geometry, Lie Groups and Symmetric Spaces de
Helgason.
-
Problemas del primer parcial. Asignados el 20 de
septiembre para entregar el 27 de
septiembre. Soluciones.
-
Considere el subgrupo de $\mathbb{Q}$ de numeros
racionales del grupo de Lie $\mathbb{R}$ de todos
los numeros reales. Probar que $\mathbb{Q}$ admite
una estructura de grupo de Lie para la cual es un
subgrupo de Lie de $\mathbb{R}$. (Nota: Observe que
para tal estructura en $\mathbb{Q}$ la topologia no
puede ser la heredada.)
-
Escribir la definicion de grupo de Lie y probar que
los siguientes conjuntos definen grupos de Lie con
la topologia heredada del correspondiente espacio de matrices.
\[
U(p,q) = \{ A \in M_{n\times n}(\mathbb{C}) \mid A^* I_{p,q} A = I_{p,q}\}, \quad \text{ donde } \quad
I_{p,q} = \begin{pmatrix}
I_p & 0 \\
0 & -I_q
\end{pmatrix}
\]
\[
Sp(n,\mathbb{C}) = \{ A \in M_{n\times n}(\mathbb{C}) \mid A^\top J_n A = J_n \}, \quad \text{ donde } \quad
J_n = \begin{pmatrix}
0 & -I_n \\
I_n & 0
\end{pmatrix}
\]
-
Calcular las algebras de Lie de los grupos del
problema anterior. Usar esto para calcular las
dimensiones sobre $\mathbb{R}$ de tales
grupos. (Nota: El algebra de Lie de $U(p,q)$ es real
y el algebra de Lie de $Sp(n,\mathbb{C})$ es
compleja, pero en ambos casos se pide calcular la
dimension sobre $\mathbb{R}$.)
-
Denote por $P(n,\mathbb{R})$ el conjunto de matrices
simetricas definidas positivas $n \times n$
reales. Considere la accion del grupo
$GL(n,\mathbb{R})$ sobre $P(n,\mathbb{R})$ dada por
\[
A \cdot P = A P A^\top,
\]
$A \in GL(n,\mathbb{R})$ y $P \in
P(n,\mathbb{R})$. Probar que $P(n,\mathbb{R})$
admite una unica estructura de variedad analitica
tal que la accion anterior es suave.
-
Problemas del segundo parcial. Asignados el 19 de
noviembre para entregar el 26 de
noviembre. Soluciones.
-
Sea $\mathfrak{g}$ un algebra de Lie con forma de
Killing $B$ y $\mathfrak{h}$ un ideal de
$\mathfrak{g}$. Probar que el complemento ortogonal
$\mathfrak{h}^\perp$ de $\mathfrak{h}$ respecto de
$B$ es un ideal en $\mathfrak{g}$. Dar un ejemplo
para el cual la suma $\mathfrak{h} +
\mathfrak{h}^\perp$ no es directa.
-
Para un algebra de Lie $\mathfrak{g}$ definir el
espacio de derivaciones $\partial(\mathfrak{g})$ y
probar que $\mathrm{ad}(\mathfrak{g}) \subset
\partial(\mathfrak{g})$. Dar un ejemplo de un
algebra de Lie $\mathfrak{g}$ para la cual la
inclusion $\mathrm{ad}(\mathfrak{g}) \subset
\partial(\mathfrak{g})$ es propia.
-
Sea $\mathfrak{g}$ un algebra de Lie y
$\mathfrak{h}$ un ideal en $\mathfrak{g}$. Probar
que $\mathfrak{g}$ es soluble si solo si
$\mathfrak{h}$ y $\mathfrak{g}/\mathfrak{h}$ son
solubles.
-
Sea $\mathfrak{g}$ un algebra de Lie compleja
semisimple con una subalgebra de Cartan
$\mathfrak{h}$. Dado un funcional lineal $\alpha
: \mathfrak{h} \rightarrow \mathbb{C}$ definir
$$
\mathfrak{g}^\alpha = \{ X \in \mathfrak{g} \mid
[H,X] = \alpha(H) X \text{ para todo } H \in \mathfrak{h}\}.
$$
Probar que para cualesquiera dos funcionales
$\alpha, \beta : \mathfrak{h} \rightarrow
\mathbb{C}$ se cumple
$[\mathfrak{g}^\alpha,\mathfrak{g}^\beta] \subset
\mathfrak{g}^{\alpha+\beta}$.
Anotaciones sobre las clases por bluejeans.
Geometría Pseudo-Riemanniana (Maestría y Doctorado, 1er semestre 2021)
Tareas y observaciones:
Las referencias son al libro de O'Neill Semi-Riemannian Geometry.
-
Tarea 1 asignada el 27 de enero para entregar el 3 de
febrero. Sean $M, N$ variedades diferenciables y
$\{U_\alpha\}_{\alpha \in I}$ una cubierta abierta de
$M$. Sea $\varphi_\alpha : U_\alpha \rightarrow N$, con
$\alpha \in I$, una familia de funciones suaves tales
que $\varphi_\alpha = \varphi_\beta$ en $U_\alpha \cap
U_\beta$ para cualesquiera $\alpha, \beta \in I$. Probar
que la función $\varphi : M \rightarrow N$
definida por $\varphi|_{U_\alpha} = \varphi_\alpha$ es
suave.
-
Tarea 2 asignada el 4 de febrero para entregar el 11 de
febrero. Resolver los siguientes problemas del libro de
O'Neill: Página 32: 3, 4, 5.
-
Tarea 3 asignada el 11 de febrero para entregar el 18 de
febrero. Resolver los siguientes problemas del libro de
O'Neill: Página 32: 6, 7.
-
Tarea 4 asignada el 18 de febrero para entregar el 25 de
febrero. Resolver los siguientes problemas del libro de
O'Neill: Página 32: 8, 9.
-
Tarea 5 asignada el 25 de febrero para entregar el 4 de
marzo. Resolver los siguientes problemas del libro de
O'Neill: Página 33: 12.
-
Tarea 6 asignada el 4 de marzo para entregar el 11 de
marzo. Resolver los siguientes problemas del libro de
O'Neill: Página 52: 1, 2.
-
Tarea 7 asignada el 11 de marzo para entregar el 18 de
marzo. Resolver los siguientes problemas del libro de
O'Neill: Página 53: 8, 10, 11.
-
Tarea 8 asignada el 18 de marzo para entregar el 25 de
marzo. Resolver los siguientes problemas del libro de
O'Neill: Página 93: 1.
-
Tarea 9 asignada el 15 de abril para entregar el 22 de
abril. Resolver los siguientes problemas del libro de
O'Neill: Página 93: 2, 3.
-
Tarea 10 asignada el 29 de abril para entregar el 13 de
mayo. Resolver los siguientes problemas del libro de
O'Neill: Página 94: 7.
Notas de las clases por bluejeans:
Geometría Simpléctica (Doctorado, 2do semestre 2020)
Tareas y observaciones:
Las referencias son al libro de McDuff y Salamon:
Introduction to Symplectic Topology.
-
Tarea 1 asignada el 19 de agosto para entregar el 26 de
agosto. En $\mathbb{R}^{2n}$ considere el producto
interno $\langle\cdot,\cdot\rangle$, la estructura
compleja $J_0$ y la forma $\omega_0$ simpléctica
canónicos. Probar que para una matriz $M \in
GL(2n,\mathbb{R})$ con descomposición por bloques
\[
M = \begin{pmatrix}
A & C \\
B & D
\end{pmatrix}
\]
donde $A, B, C, D$ son matrices $n\times n$ se cumple $M
J_0 = J_0 M$ si y solamente si $C = -B$ y $D = A$. Usar
esto para probar que el mapeo $\rho : GL(n,\mathbb{C})
\rightarrow GL(2n,\mathbb{R})$ definido por
\[
A + i B \mapsto
\begin{pmatrix}
A & -B \\
B & A
\end{pmatrix}
\]
es un isomorfismo de grupos de Lie sobre el subgrupo de
matrices de $GL(2n,\mathbb{R})$ que conmuta con
$J_0$. Probar que para toda matriz $M \in
GL(2n,\mathbb{R})$ cualesquiera dos de las siguientes
condiciones implica la tercera.
-
$M \in \rho(GL(n,\mathbb{C}))$ (que es equivalente a
$M J_0 = J_0 M$)
-
$M \in Sp(2n,\mathbb{R})$ (que es equivalente a
$M^\top J_0 M = J_0$)
-
$M \in O(2n)$ (que es equivalente a $M^\top M =
I_{2n}$)
Usar lo anterior para probar que las siguientes
identidades de conjuntos se cumplen.
\[
\rho(GL(n,\mathbb{C})) \cap Sp(2n,\mathbb{R}) =
Sp(2n,\mathbb{R}) \cap O(2n) =
\rho(GL(n,\mathbb{C})) \cap O(2n).
\]
Finalmente, probar que esta intersección es
precisamente $\rho(U(n))$.
Notas de las clases por bluejeans:
C*-Álgebras (Maestría, 1er semestre 2020)
Tareas:
Las referencias son al libro de Takesaki: Theory of Operator
Algebras I.
-
Tarea 1 asignada el 24 de febrero para entregar el 2 de
marzo: Enunciar y demostrar la Proposición 4.10 de la
página 20.
-
Tarea 2 asignada el 20 de abril para entregar el 27 de
abril. Enunciar y demostrar la Proposición 9.5 de
la página 37. Dar una demostración completa,
es decir, probar las fórmulas de
polarización y aplicarlas. Probar la desigualdad
de Cauchy-Schwarz en el caso considerado.
-
Tarea 3 asignada el 27 abril para entregar el 4 de
mayo. Seguir el libro de Rudin Real and Complex Analysis
en su sección 9.16 (página 188) para probar
la siguiente afirmación. Si $M$ es un subespacio
cerrado de $L^2(\mathbb{R})$ invariante bajo
traslaciones, entonces existe un subconjunto $E \subset
\mathbb{R}$ medible tal que
\[
M = \{f \in L^2(\mathbb{R}) \mid \widehat{f} = 0 \text{ a. e. on $E$ }\}
\]
donde $\widehat{f}$ denota la transformada de Fourier de
$f$. Usar esto para concluir que $L^2(\mathbb{R})$ no
posee subespacios cerrados distintos de cero que sean
irreducibles bajo la acción de traslación de
$\mathbb{R}$.
Notas de las clases por bluejeans:
Análisis Funcional (Maestría, 2do semestre de 2019)
Tareas:
Las referencias son al libro de Rudin: Functional Analysis,
2nd Edition.
-
Tarea 1 asignada el 27 de agosto para entregar el 3 de
septiembre. Escribir la demostración del Teorema 1.13 de
la página 11. Resolver los problemas 1 y 2 de la página
38.
-
Tarea 2 asignada el 5 de septiembre para entregar el 12
de septiembre. Escribir la demostración del Teorema 1.39
de la página 30. Escribir el ejemplo 1.46 de la página
34. Resolver el problema 8 de la página 39.
-
Tarea 3 asignada el 12 de septiembre para entregar el 19
de septiembre. Escribir la demostración del Teorema 2.7
de la página 45 y resolver el problema 1 de la página
53.
-
Tarea 4 asignada el 26 de septiembre para entregar el 3
de octubre. Primer problema: Probar que el teorema de la
gráfica cerrada implica la siguiente versión del teorema
del mapeo abierto: Si $X,Y$ son $F$-espacios y $\Lambda
: X \rightarrow Y$ es una biyección lineal continua,
entonces $\Lambda$ es un homeomorfismo. Segundo
problema: Escribir la demostración del Teorema 3.7 de la
página 61.
-
Tarea 5 asignada el 10 de octubre para entregar el 17 de
octubre. Escribir la demostración del Teorema 3.6 según
aparece en la página 61. Resolver el problema 2 de la
página 85.
-
Tarea 6 asignada el 17 de octubre para entregar el 29 de
octubre. Primer problema: Probar las fórmulas de
polarización para espacios con producto interno en el
caso real y complejo. Segundo problema: Usar las
fórmulas de polarización para probar la siguiente
afirmación en el caso real y complejo: Si $T : H
\rightarrow K$ es un operador lineal entre espacios con
producto interno y $T$ preserva normas, entonces $T$
preserva productos internos.
-
Tarea 7 asignada el 12 de noviembre para entregar el 19
de noviembre. Resolver los problemas 3 y 4 de la página
341.
-
Tarea 8 asignada el 26 de noviembre para entregar el 3
de diciembre. Resolver el siguiente problema: Sea
$(X,\mu)$ un espacio de medida y $k \in L^2(X\times X,
\mu\times\mu)$ que satisface $k(x,y) =
\overline{k(y,x)}$ para casi todo $x,y \in X$. Probar
que el operador $K : L^2(X,\mu) \rightarrow L^2(X,\mu)$
definido por
\[ K(f)(x) = \int_X k(x,y) f(y) d\mu(y) \]
es autoadjunto. También probar que si $(\lambda_n)_n$
son los eigenvalores no nulos de $K$ contados con
multiplicidad, entonces
\[\sum_{n=1}^\infty |\lambda_n|^2 < \infty.\]
Sugerencia: Sea $\mathfrak{B} = (e_n)_n \cup
(e_\alpha)_{\alpha \in I}$ una base ortonormal tal que
$K(e_n) = \lambda_n e_n$ para todo $n$ y tal que
$(e_\alpha)_{\alpha \in I}$ es una base ortonormal de
$\ker(K)$. Probar que $k$ es de la forma
\[ k(x,y) =
\sum_{k=1}^\infty \lambda_k e_k(x) \overline{e_k(y)}.\]
Calificación
-
Tres examenes parciales, cada uno cuenta 25%.
-
Tareas, cuentan 25%.
Exámenes:
-
1er examen parcial: 19 de septiembre. Incluye todo los
visto hasta la clase del 12 de Septiembre. Esto cubre
hasta la sección sobre el Teorema del Mapeo Abierto
incluyendo esta sección misma. Lugar del examen: G102 de
11:00 a 12:30 y Diego Bricio de 12:30 a 14:00.
-
2do examen parcial: 31 de octubre. Incluye todo lo visto
después del primer parcial y hasta la clase del 17 de
octubre. Lugar del examen: G001 de 9:30 a 11:00 y G102
de 11:00 a 12:30.
-
3er examen parcial: 3 de diciembre. Lugar del examen:
G005 de 11am a 2pm.
Teoría de la Medida (Maestría, 1er semestre de
2019)
Tareas:
Las referencias son al libro de Folland: Real Analysis, 2nd
edition.
-
Tarea 1 asignada el 23 de enero para entregar el 30 de
enero. Resolver los siguientes problemas del libro de
Folland: Página 24: 1, 4, 5. Página 27: 7,
10.
-
Tarea 2 asignada el 6 de febrero para entregar el 13 de
febrero. Resolver los siguientes problemas del libro de
Folland: Página 27: 8, 9, 11. Página 32:
17. Página 39: 28. Para el problema 8 ver las
definiciones de $\lim\inf$ y $\lim\sup$ de conjuntos en
la página 2 del libro. Para el problema 28 ver las
definiciones y propiedades de $f(a-)$ y de $f(a+)$ ($f$
creciente) en la página 12 del libro.
-
Tarea 3 asignada el 20 de febrero para entregar el 27 de
febrero. Resolver los siguientes problemas del libro de
Folland: Página 48: 1, 2, 3, 5, 8.
-
Tarea 4 asignada el 27 de febrero para entregar el 6 de
marzo. Resolver los siguientes problemas del libro de
Folland: Página 52: 13, 16. Página 59: 19,
20, 21.
-
Tarea 5 asignada el 6 de marzo para entregar el 13 de
marzo. Resolver los siguientes problemas del libro de
Folland: Página 63: 33, 36, 38, 39, 42.
-
Tarea 6 asignada el 13 de marzo para entregar el 20 de
marzo. Resolver los siguientes problemas del libro de
Folland: Página 64: 44. Páginas 68-69: 46,
47, 48, 50.
-
Tarea 7 asignada el 27 de marzo para entregar el 3 de
abril. Resolver los siguientes problemas del libro de
Folland: Página 88: 2, 3, 6. Página 92: 9,
13.
-
Tarea 8 asignada el 10 de abril para entregar el 29 de
abril. Resolver los siguientes problemas del libro de
Folland: Páginas 186-187: 3, 9, 10, 12, 13.
-
Tarea 9 asignada el 8 de mayo para entregar el 15 de
mayo. Resolver los siguientes problemas del libro de
Folland: Páginas 191-192: 18, 21. Para el problema
21 se aplica la siguiente definicion: Si $f$ y $(f_n)_n$
son elementos en $\ell^p(A)$ con $1 < p < \infty$, entonces
$f_n \to f$ weakly si para todo $g \in \ell^q(A)$ ($p,q$
conjugados) se cumple
\[
\sum_{x\in A} f_n(x) g(x) \to \sum_{x\in A} f(x) g(x).
\]
-
Tarea 10 asignada el 15 de mayo para entregar el 22 de
mayo. Páginas 196-197: 26, 32. Página 215:
1. Resolver los siguientes problemas:
-
Sea $X$ un espacio topológico Hausdorff
localmente compacto. Probar que para toda
función contínua $f : X \rightarrow
\mathbb{C}$ las siguientes condiciones son
equivalentes:
-
Para todo $\varepsilon > 0$ existe un
subconjunto compacto $K \subset X$ tal que
$|f(x)| < \varepsilon$ si $x \not\in K$.
- Para todo $\varepsilon > 0$ el conjunto $\{x
\in X : |f(x)| \geq \varepsilon \}$ es compacto.
Una función que cumple estas propiedades se
dice que se anula en el infinito. El conjunto de
tales funciones se denota con $C_0(X)$.
-
Sea $X$ un espacio topológico Hausdorff
localmente compacto. Denote con $BC(X)$ el espacio
de funciones continuas acotadas $X \rightarrow
\mathbb{C}$, y sobre de este espacio defina la norma
uniforme dada por
\[
\|f\|_u = \sup\{|f(x)| : x \in X\},
\]
donde $f \in BC(X)$.
-
Probar que $BC(X)$ es un espacio de Banach con la
norma $\|\cdot\|_u$.
-
Probar que $C_c(X) \subset C_0(X) \subset BC(X)$
y que la cerradura de $C_c(X)$ en $BC(X)$ es
$C_0(X)$. En particular, $C_0(X)$ es un espacio
de Banach con la norma $\|\cdot\|_u$.
Calificación
-
Tres examenes parciales, cada uno cuenta 25%.
-
Tareas, cuentan 25%.
Exámenes:
-
1er examen parcial: 18 de
febrero. Soluciones del primer examen parcial.
-
2do examen parcial: 1 de
abril. Soluciones del segundo examen parcial.
-
3er examen parcial: 27 de
mayo. Soluciones del tercer examen parcial.
Análisis Funcional (Maestría, 2do semestre de 2018)
Tareas:
Las referencias son al libro de Conway: A Course in
Functional Analysis, 1a edición. Los estudiantes del
Cimat-Demat pueden ver este libro en este
link.
-
Tarea 1 asignada el 21 de Agosto para entregar el 28 de
Agosto. Resolver los siguientes problemas del libro de
Conway. Página 7: 11. Página 11: 1, 2, 3, 4.
-
Tarea 2 asignada el 28 de Agosto para entregar el 4 de
Septiembre. Resolver los siguientes problemas del libro
de Conway. Página 13: 2, 3 (Sugerencia: para a)
usar Cauchy-Schwarz, para b) usar la base ortonormal
canónica). Página 19: 13, 16 (Sugerencia:
para la primera parte considere las series definidas por
bases ortonormales, para la segunda parte aplique el
proceso de Gram-Schmidt a una base de Hamel numerable y
use la primera parte), 19 (Sugerencia: considere el
conjunto dado por una base ortonormal).
-
Tarea 3 asignada el 4 de Septiembre para entregar el 13
de Septiembre. Resolver los siguientes problemas del
libro de Conway. Página 25: 1. Página 30: 3,
6, 7, 8. El problema 3 en la página 30 de la
primera edición es incorrecto (veremos
contraejemplos en clase). Resolver en su lugar el
siguiente enunciado que corresponde a la segunda
edición.
En un espacio de Hilbert $H$ con base ortonormal
$(e_n)_{n \in \mathbb{Z}_+}$ considere una
sucesión de vectores $(v_n)_{n \in \mathbb{Z}_+}$
tal que
\[
\sum_{n=1}^\infty \|v_n\| < \infty.
\]
Probar que existe un único operador acotado $A : H
\rightarrow H$ tal que $Ae_n = v_n$ para todo $n \in
\mathbb{Z}_+$.
-
Tarea 4 asignada el 13 de Septiembre para entregar el 20
de Septiembre. Resolver los siguientes problemas del
libro de Conway. Página 36: 12, 13,
14. Página 40: 4, 6. Página 46: 4.
-
Tarea 5 asignada el 25 de Septiembre para entregar el 2
de Octubre. Resolver los siguientes problemas
-
Sea $H$ un espacio de Hilbert. Probar que las
siguientes condiciones son equivalentes.
-
Existe un operador compacto $T : H \rightarrow
H$ invertible con inversa
continua. (OBSERVACIÓN: Antes se
pedía solamente biyectivo)
-
$H$ es dimensión finita.
-
Sea $T : H \rightarrow H$ un operador compacto y
sean $H_1, H_2$ subespacios cerrados de $H$ tales
$T(H_1) \subset H_2$. Probar que $T|_{H_1} : H_1
\rightarrow H_2$ es compacto.
-
Sea $T : H \rightarrow H$ un operador compacto sobre
un espacio de Hilbert. Probar que si $\lambda$ es un
eigenvalor no cero de $T$, entonces el eigenespacio
correspondiente dado por $\{ v \in H : Tv = \lambda
v\}$ es de dimensión finita.
-
Considere el operador de Volterra $V : L^2((0,1))
\rightarrow L^2((0,1))$ dado por
\[
Vf(x) = \int_0^x f(t) dt
\]
Probar que $V$ no posee eigenvalores. (Sugerencia:
Puede usar el teorema fundamental del cálculo
para funciones Lebesgue integrables)
-
Sobre el círculo unidad $\mathbb{T} \subset
\mathbb{C}$ considere el correspondiente espacio
$L^2(\mathbb{T})$. Probar que para toda $\varphi \in
L^2(\mathbb{T})$ el operador $C_\varphi :
L^2(\mathbb{T}) \rightarrow L^2(\mathbb{T})$
definido por
\[
(C_\varphi f)(e^{it}) = \int_0^{2\pi} \varphi(e^{i(t-x)}) f(e^{ix}) dx
\]
es compacto. (Sugerencia: Se trata de un kernel operator)
-
Tarea 6 asignada el 2 de Octubre para entregar el 9
Octubre. Resolver los siguientes problemas del libro de
Conway. Página 69: 5. Página 71:
1. Página 72: 1. Página 75: 2 (Sugerencia:
Utilice sumas telescópicas), 4 (Sugerencia:
Estudie el caso $X = \mathbb{R}^2$, $M = \mathbb{R}
\times \{0\}$ y por conjunto cerrado una sucesión
adecuada de $X$ que converja a infinito)
-
Tarea 7 asignada el 9 de Octubre para entregar el 16 de
Octubre. Resolver los problemas 4 y 5 en la página
84 del libro de Conway. Para estos problemas,
además del Teorema de Hahn-Banach, puede utilizar
el Teorema de representación de Riesz
(página 78 del libro de Conway).
Resolver además los siguientes problemas.
-
Sea $X$ un espacio normado, $M$ un subespacio
cerrado de $X$ y $x_0 \in X \setminus M$. Probar que
existe un funcional lineal continuo $f : X
\rightarrow \mathbb{C}$ tal que $f(M) = 0$ y $f(x_0)
= 1$. (Sugerencia: Convierta el problema a uno en el
espacio cociente por $M$)
-
Sea $X$ un espacio normado y $M$ un subespacio de
$X$ que no es necesariamente cerrado. Probar que se
cumple
\[
\overline{M} = \bigcap\{\mathrm{ker}(f) : f \in X^*, f(M) = 0\}.
\]
-
Sea $X$ un espacio normado y $M$ un subespacio de
$X$ que no es necesariamente cerrado. Probar que $M$
es denso en $X$ si y sólo si el único
funcional acotado $f \in X^*$ tal que $f(M) = 0$
debe satisfacer $f=0$ en todo $X$.
-
Tarea 8 asignada el 18 de Octubre para entregar el 1 de
Noviembre. Resolver los problemas 4, 5, 6 de la
página 96, y los problemas 2, 9 de las
páginas 100 y 101.
-
Tarea 9 asignada el 6 de Noviembre para entregar el 20
de Noviembre. Resolver los problemas 1, 2, 4, 11, 12,
15, 18 de las páginas 107 y 108, y el problema 4
de la página 110.
Calificación
-
Tres examenes parciales, cada uno cuenta 20%.
-
Un examen final, cuenta 20%.
-
Tareas, cuentan 20%.
Exámenes:
-
1er examen parcial: 18 de Septiembre. Lugar: Salón
D702. Horario: 11am a
1:30pm. Examen con soluciones.
-
2do examen parcial: 30 de Octubre. Lugar: Salón
D702. Horario: 11am a 2pm.
-
3er examen parcial: 29 de Noviembre. Lugar: Salón
D702. Horario: 11am a 2pm.
-
Examen final: 10 de Diciembre. Lugar: Salón
D702. Horario: 11am a 2pm.
Análisis Armónico en Grupos de Lie compactos
(Maestría, 2do semestre del 2017)
Notas:
-
Sobre una identidad de funciones representativas
ver aquí.
Tareas:
-
Tarea 1 asignada el 30 de Agosto para entregar el 6 de
Septiembre. Resolver el siguiente problema.
-
Sea $M$ una variedad diferenciable y $\varphi : M
\rightarrow M$ un difeomorfismo. Todo campo
vectorial suave $X$ sobre $M$ lo consideramos como
un operador lineal sobre $C^\infty(M)$ dado por
\[
X(f)(p) = X_p(f)
\]
para toda $f \in C^\infty(M)$ y $p \in M$. De manera
que podemos definir el campo vectorial suave $[X,Y]
= X\circ Y - Y\circ X$. Por otro lado, definimos el
campo vectorial suave $d\varphi(X)$ por
\[
d\varphi(X)_p = d\varphi_{\varphi^{-1}(p)}(X_{\varphi^{-1}(p)})
\]
para todo $p \in M$.
Probar que para cualesquiera dos campos vectoriales
suaves $X,Y$ sobre $M$ tenemos
\[
d\varphi([X,Y]) = [d\varphi(X), d\varphi(Y)].
\]
Es decir, $d\varphi$ define un homomorfismo de
álgebras de Lie sobre $\mathfrak{X}(M)$.
-
Tarea 2 asignada el 6 de Septiembre para entregar el 13
de Septiembre. Resolver los siguientes problemas
-
Para un espacio vectorial $V$ de dimensión $n$
calcular las dimensiones de los espacios vectoriales
$V^{\otimes k}$ y $\wedge^k V$ para cualquier entero
$k \geq 1$.
-
Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión
finita $n$ y $\omega \in \wedge^n V^*$. Considerando
a $\omega$ como una transformación
$n$-multilineal antisimétrica probar que para
cualquier transformación lineal $T : V
\rightarrow V$ se cumple $\omega(T(\cdot), \dots,
T(\cdot)) = \det(T)\omega$.
-
Tarea 3 asignada el 20 de Septiembre para entregar el 27
de Septiembre. Resolver los siguientes problemas.
-
En el grupo de Lie $GL(n,\mathbb{R})$ denote por
$dX$ la medida de Lebesgue que proviene del espacio
de matrices $M_n(\mathbb{R})$. Probar que la medida
\[
d\mu(X) = \frac{1}{|\det(X)|^n} dX
\]
es invariante tanto por la izquierda como por la
derecha. (Sugerencia: Calcule el determinante del
Jacobiano de la transformación
$M_n(\mathbb{R}) \rightarrow M_n(\mathbb{R})$ dada
por $L_A(X) = AX$.)
-
Considere el grupo de Lie dado por
\[
G = \left\{
\begin{pmatrix}
y & x \\
0 & 1
\end{pmatrix} \Big| x \in \mathbb{R}, y > 0
\right\}.
\]
Utilizando las coordenadas $(x,y)$ dadas en la
definición de $G$ considere las medidas
definidas por
\[
d\mu_L(x,y) = \frac{1}{y^2} dx dy, \quad
d\mu_R(x,y) = \frac{1}{y} dx dy.
\]
Probar que $\mu_L$ y $\mu_R$ son invariantes por la
izquierda y por la derecha, respectivamente.
-
Un grupo topológico es un grupo $G$ para el
cual las operaciones de producto y de
inversión son continuas. Probar las siguientes
propiedades para un grupo topológico $G$.
-
Para toda vecindad $W$ de la identidad en $G$
existe una vecindad $U$ de la identidad tal que
$U^{-1} = U$ y $U^2 \subset W$.
-
La componente conexa $G_0$ que contiene al
elemento identidad de $G$ es un subgrupo normal
abierto y cerrado de $G$.
-
Si $G$ es conexo, entonces $G$ es generado por
cualquier vecindad de la identidad. En otras
palabras, si $U$ es una vecindad de la
identidad, entonces para cualquier $x \in G$
existen $x_1, \dots, x_k$ tales que $x = x_1
\dots x_k$.
-
Tarea 4
asignada el 4 de Octubre para entregar el 11
de Octubre.
-
Tarea 5
asignada el 11 de Octubre para entregar el 18 de
Octubre.
-
Tarea 6
asignada el 18 de Octubre para entregar el 1 de
Noviembre.
-
Tarea 7
asignada el 1 de Noviembre para entregar el 8 de
Noviembre.
Algebra 1 (Maestría, 1er semestre del 2017)
Tareas:
-
Tarea 1
asignada el 25 de Enero para entregar el 1o de
Febrero.
-
Tarea 2
asignada el 1o de Febrero para entregar el 8 de
Febrero.
-
Tarea 3
asignada el 13 de Febrero para entregar el 20 de
Febrero.
-
Tarea 4 asignada el 20 de febrero para entregar el 27 de
febrero. Resolver los siguientes problemas del libro de
Hungerford. De las páginas 133 a 135, los
problemas 5, 7, 10, 18, 23. De las páginas 140 a
142, los problemas 1, 2, 3, 10, 11.
-
Tarea 5 asignada el 8 de marzo para entregar el 15 de
marzo (al email del ayudante). Resolver los siguientes
problemas del libro de Hungerford de la página
148: 1, 6, 7, 8, 10, 12. También resolver los
siguientes problemas.
-
Denote con $C([0,1])$ el anillo de funciones
continuas a valores reales definidas sobre el
intervalo $[0,1]$. Probar que para todo $x \in
[0,1]$ el conjunto $M_x = \{ f \in C([0,1]) \mid
f(x) = 0 \}$ es un ideal maximal.
-
Considere en $\mathbb{C}^n$ la topología de
Zariski definida por el anillo $R = \mathbb{C}[x_1,
\dots, x_n]$. Probar que $\mathbb{C}^n$ no es
Hausdorff. Dado $f \in R$ denotamos por $O_f \subset
\mathbb{C}^n$ el complemento de la variedad
algebraica correspondiente al ideal principal
generado por $f$, y lo llamamos el abierto principal
asociado a $f$. Probar que todo abierto en
$\mathbb{C}^n$ es la unión de un número
finito de abiertos principales. [Sugerencia: puede
usar que en el anillo $R$ todo ideal es finitamente
generado]
-
Tarea 6 asignada el 15 de marzo para entregar el 22 de
marzo. Resolver los siguientes problemas del libro de
Hungerford. De las páginas 178 a 180, los problemas 1,
2, 3, 4, 5, 7, 9, 10.
-
Tarea 7 asignada el 22 de marzo para entregar el 29 de
marzo. Resolver los siguientes problemas del libro de
Hungerford. De la página 180, los problemas 12,
14, 15, 16, 17, 18.
-
Tarea 8 asignada el 29 de marzo para entregar el 5 de
abril. Resolver los siguientes problemas del libro de
Hungerford. De las páginas 188 a 190, los
problemas 2, 4, 5, 6, 11. De las páginas 198 a 199,
los problemas 3, 5, 13.
-
Tarea 9 asignada el 5 de abril para entregar el 26 de
abril. Resolver los siguientes problemas del libro de
Hungerford. De las páginas 198 a 199, los
problemas 2, 7, 8, 9.
-
Tarea 10 asignada el 26 de abril para entregar el 3 de
mayo. Las referencias son al libro de
Hungerford. Escribir las demostraciones de los Teoremas
4.11 y 4.12. Resolver los problemas 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8,
9 de la página 206.
-
No hay tarea asignada el 3 de mayo. La siguiente tarea
la asignaremos el 10 de mayo.
-
Tarea 11 asignada el 10 de mayo para entregar el 22 de
mayo. Las referencias son al libro de
Hungerford. Resolver los problemas 2, 5, 7, 8, 9, 11 de
las páginas 216 y 217. También resolver los
siguientes problemas.
-
Probar que la función definida por
\begin{align*} \rho : \mathbb{C}^* \times \mathbb{C}
&\rightarrow GL(2,\mathbb{C}) \\ \rho(a,b) &=
\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\end{align*} es una representación, donde
$\mathbb{C}^* \times \mathbb{C}$ tiene la estructura
de producto semidirecto dada por $(a,b) \cdot
(a',b') = (aa',ab'+b)$.
-
Dado un entero positivo $n$, describa todas las
representaciones $\mathbb{Z}_n \rightarrow
GL(1,\mathbb{C}) = \mathbb{C}^*$.
-
Tarea 12 asignada el 17 de mayo para entregar el 24 de
mayo. Resolver los siguientes problemas.
-
Sean $\chi_1$ y $\chi_2$ los caracteres de dos
representaciones irreducibles $\rho_1$ y $\rho_2$,
respectivamente, de un grupo finito $G$. Con el
producto interno para funciones $G \rightarrow
\mathbb{C}$ definido en clase, probar que si
$\rho_1$ y $\rho_2$ no son isomorfas entonces \[
\left<\chi_1, \chi_2\right> = 0. \] Además,
se cumple \[ \left<\chi_1,\chi_1\right> =
\left<\chi_2,\chi_2\right> = 1. \]
-
Probar que dos representaciones irreducibles de un
grupo finito son isomorfas si y sólo sus
caracteres son iguales.
-
Considere el grupo de permutaciones $S_n$ de los $n$
primeros enteros positivos. Para cada
permutación $\sigma \in S_n$, considere la
transformación lineal en $\mathbb{C}^n$ que
satisface
\[
\rho(\sigma)(e_j) = e_{\sigma(j)}
\]
para todo $j = 1, \dots, n$, donde $e_1, \dots, e_n$
es la base canónica de $\mathbb{C}^n$. Probar
que esto define una representación $\rho : S_n
\rightarrow GL(n, \mathbb{C})$. Probar también
que esta representación no es irreducible exhibiendo
un subespacio invariante no trivial.
-
Sea $\rho : G \rightarrow GL(V)$ una
representación de un grupo finito $G$ en un
espacio vectorial complejo $V$ de dimensión
finita. Probar que para cada $g \in G$, la
transformación lineal $\rho(g)$ es
diagonalizable. (Sugerencia: Usar un producto
Hermitiano invariante bajo $G$)
-
Sea $G$ un grupo finito Abeliano. Probar que toda
representación irreducible de $G$ tiene
dimensión $1$. (Sugerencia: Diagonalizar
simultáneamente a las transformaciones que
determinan una tal representación)
Calificación:
-
Tres examenes parciales, cada uno cuenta un 20%.
-
Un examen final, cuenta un 20%.
-
Tareas semanales, cuya calificación promediada
cuenta un 20%.
Examenes:
-
Primer examen: 1o de Marzo. Temas: Grupos y Anillos.
-
Segundo examen: 3 de Abril. Temas: Anillos de
fracciones, localización, y todos los temas de
módulos vistos hasta el 29 de Marzo.
-
Tercer examen: 24 de Mayo en el salón D622 de
12:30 a 15:00. Temas: El functor Hom, productos
tensoriales y representaciones de grupos finitos.
-
Examen final: 2 de Junio de 11:00 a 14:00. Salón
G004.
Espacios de Bergman y Operadores de Toeplitz (2do semestre del 2016)
Tareas:
-
Describir los subespacios cerrados invariantes de
$L^2(\mathbb{R}^n)$ bajo la acción por
traslaciones de $\mathbb{R}^n$. Entregar la
solución a más tardar en la clase del lunes
31 de Octubre. Sugerencia: Revisar el capítulo
sobre la transformada de Fourier del libro de Rudin,
Real and Complex Analysis.
Grupos de Lie y Algebras de Lie (Maestría, 1er semestre 2016)
Tareas:
-
Tarea 1
asignada el 4 de Marzo para entregar el 15 de Marzo.
Temas para exposición. Las referencias son al libro de
Knapp, Lie groups beyond an introduction. La primera
exposición comienza el 3 de mayo y cada uno cuenta con
dos clases.
-
Gustavo: Productos semidirectos de álgebras de Lie
y de grupos de Lie. Secciones 4 y 15 del Capítulo
I.
-
Luis: Teorema de Lie. Sección 5 del Capítulo
I.
-
Sahid: Teorema de Engel. Sección 6 del
Capítulo I.
-
Harry: Clasificación de álgebras de Leibniz.
-
Oscar: Criterios de Cartan. Sección 7 del
Capítulo I.
Variedades Diferenciables y Grupos de Lie (2do semestre 2015)
Tareas:
-
Tarea 1
asignada el 13 de Agosto para entregar el 20 de Agosto.
-
Tarea 2
asignada el 20 de Agosto para entregar el 27 de Agosto.
-
Tarea 3
asignada el 27 de Agosto para entregar el 3 de Septiembre.
-
Tarea 4
asignada el 3 de Septiembre para entregar el 10 de Septiembre.
-
Tarea 5: Resolver el problema 6 en la pagina 50 del
libro Foundations of differentiable manifolds and Lie
groups de Warner. Asignada el 17 de Septiembre para
entregar el 24 de Septiembre.
-
Tarea 6
asignada el 24 de Septiembre para entregar el 1o de Octubre.
-
Tarea 7
asignada el 13 de Octubre para entregar el 20 de Octubre.
-
Tarea 8
asignada el 10 de Noviembre para entregar el 17 de Noviembre.
-
Tarea 9
asignada el 19 de Noviembre para entregar el 26 de Noviembre.
-
Tarea 10
asignada el 1o de Diciembre para entregar el 9 de Diciembre.
Notas:
-
Una
demostración de la suavidad del mapeo
que asigna a cada $k$-plano su complemento
ortogonal.
Anuncios:
-
El
primer examen parcial.
-
El
segundo examen parcial se llevará cabo el
jueves 29 de octubre de 3pm a 6pm en el salón 1 de
seminarios en el Cimat. Incluye todo lo visto en clase a
partir del concepto de valor regular hasta el Teorema de
Frobenius.
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El
tercer examen parcial fue publicado el 3 de
Diciembre. La fecha límite para la entrega de
soluciones es el 9 de Diciembre. Las soluciones pueden
ser entregadas en mi pichonera, conmigo cuando me
encuentre en mi oficina o en forma electrónica
legible a mi cuenta de email.
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