Faltings

Gerd Faltings ganó el Premio Abel 2026. Lo anunciaron hoy. No sorprende a nadie que trabaje en geometría aritmética, pero se agradece.

Faltings es de Gelsenkirchen, zona industrial del Ruhr. Doctorado en Münster, 1978. Lo llaman lobo solitario. Trabaja en lo que le interesa, punto. En un medio que premia la visibilidad, él hizo carrera haciendo lo contrario.

En 1983 probó la conjetura de Mordell: si una curva algebraica sobre $\mathbb{Q}$ tiene género $g \geq 2$, entonces tiene a lo más un número finito de puntos racionales. De paso, probó Tate para variedades abelianas y Shafarevich. Tres conjeturas. Medalla Fields en el 86. Después, Mordell–Lang. Arakelov. Espacios de móduli.

Pero lo que más me toca es la teoría p-ádica de Hodge. La versión clásica descompone la cohomología de una variedad compleja en piezas de tipo $(p,q)$: topología traducida a álgebra lineal. La versión p-ádica clasifica las representaciones del grupo de Galois absoluto $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}_p}/\mathbb{Q}_p)$ sobre campos locales. Faltings extendió esto a variedades sobre $\mathbb{Q}_p$. Lo que hizo, dicho sin rodeos, es construir el diccionario entre cohomología étale p-ádica y cohomología de de Rham filtrada. Ese diccionario es el que uso cuando trabajo con superficies K3.

En mi caso: criterios de buena reducción. Tengo una K3 sobre un cuerpo local, quiero saber si tiene buena reducción, semiestable, potencialmente buena. La respuesta pasa por la representación de Galois asociada a $H^2_{\mathrm{ét}}$ y por si esa representación es cristalina, semistable, de Hodge–Tate. La maquinaria para decidir eso viene de Faltings, de Fontaine, de Berger, de Colmez. Pero el primer paso grande lo dio Faltings.

También hay un eco más reciente. En dinámica aritmética estudio iteraciones de mapas racionales sobre cuerpos p-ádicos. Las órbitas, los puntos periódicos, la estructura del espacio de parámetros: todo esto se analiza con herramientas p-ádicas que descienden, en última instancia, de lo que Faltings construyó en los ochenta y noventa. Y en matemáticas condensadas — la reformulación de Clausen y Scholze — hay una línea directa desde los funtores de Faltings hasta los seis funtores en el mundo condensado.

No es un homenaje. Es un reconocimiento de deuda. Cada vez que escribo $D_{\mathrm{cris}}(V)$ en un pizarrón, estoy parado sobre trabajo suyo.