Matemáticas Condensadas I — Fundamentos categóricos y topológicos
Curso del Posgrado en Ciencias Matemáticas de la UNAM (clave 67941, Temas Selectos de Geometría II), impartido en línea (sesiones sincrónicas), agosto–diciembre 2025. Horario: martes y jueves 12:00–13:30 (hora centro de México). 6 créditos.
Introduce los fundamentos categóricos y topológicos de la teoría de conjuntos condensados (Clausen–Scholze): categorías, funtores, transformaciones naturales, lema de Yoneda, límites y colímites, adjunciones, gavillas, sitios de Grothendieck, grupos topológicos, espacios de Stone y conjuntos profinitos. Primera parte de la serie Matemáticas Condensadas.
Profesor: Jesús Rogelio Pérez Buendía (CIMAT Mérida — CONAHCYT). Referencia principal: Bernard Le Stum, An Introduction to Condensed Mathematics (SMF, 2023–2025).
Temario
Bloque I. Categorías y funtores
Definición de categoría y morfismos. Ejemplos: Set, Top, Ab, Ring, categorías opuestas. Funtores covariantes y contravariantes. Isomorfismos de categorías. Subcategorías y categorías llenas.
Bloque II. Transformaciones naturales y el lema de Yoneda
Transformaciones naturales. Equivalencias de categorías. Lema de Yoneda: enunciado y demostración. Representabilidad y funtores representables. El funtor de puntos.
Bloque III. Límites, colímites y adjunciones
Límites y colímites: productos, coigualadores, pullbacks. Compacidad categórica. Funtores adjuntos (definición, ejemplos, propiedades). Teorema del funtor adjunto. Adjunción y exactitud. Colímites exactos y categorías reflectivas. Extensiones de Kan.
Bloque IV. Gavillas y sitios de Grothendieck
Presheaves y sheaves sobre un espacio topológico. Gavillas: axiomas de separación y gluing. Sheafificación. Sitios de Grothendieck: coberturas y topologías. El sitio de Zariski. Gavillas sobre sitios y el topos de Grothendieck.
Bloque V. Grupos topológicos y conjuntos profinitos
Grupos topológicos: definiciones y propiedades. Límites de grupos finitos. Grupos profinitos y topología de Stone. Álgebras booleanas y dualidad de Stone. Compactificación de Stone–Čech. Conjuntos profinitos y el sitio profinito. Preámbulo a los conjuntos condensados.
Presentaciones (PDF)
Programa del curso: ver PDF en el sitio.
Las diapositivas de cada sesión (cuando estén publicadas) se abren aquí con el visor integrado del sitio, igual que en las conferencias (enlace «ver» en la tabla). Por ahora solo hay presentación para las clases 1 y 18 y el programa; el resto se irá completando cuando añadas los PDF correspondientes.
Videos del curso
Las sesiones están disponibles en la playlist del curso en YouTube (24 grabaciones).
| Clase | Tema | Video | Presentación |
|---|---|---|---|
| 1 | Introducción y motivación | ▶ | ver |
| 3 | Fundamentos categóricos II | ▶ | — |
| 4 | Funtores I | ▶ | — |
| 5 | Funtores II | ▶ | — |
| 6 | Transformaciones naturales I | ▶ | — |
| 7 | Transformaciones naturales II | ▶ | — |
| 8 | El lema de Yoneda | ▶ | — |
| 9 | Límites categóricos | ▶ | — |
| 11 | Gavillas (y algo de funtores adjuntos) | ▶ | — |
| 12 | Funtores adjuntos | ▶ | — |
| 13 | Funtores adjuntos II: más allá de la equivalencia | ▶ | — |
| 14 | Límites y representabilidad | ▶ | — |
| 16 | Compacidad categórica | ▶ | — |
| 17 | Adjunción y límites | ▶ | — |
| 18 | Teorema del funtor adjunto | ▶ | ver |
| 19 | Colímites exactos, categorías reflectivas y extensiones de Kan | ▶ | — |
| 20 | Grupos topológicos I: definiciones y primeras propiedades | ▶ | — |
| 22 | Grupos topológicos III | ▶ | — |
| 25 | Espacios de Stone, álgebras booleanas y compactificación de Stone–Čech | ▶ | — |
| 26 | Topología, k-espacios y el camino hacia los sitios de Grothendieck | ▶ | — |
| 27 | Sitios, Zariski y gavillas: la geometría desde la mirada categórica | ▶ | — |
Canal completo: youtube.com/@j.rogelioperezbuendia720
Bibliografía
- Le Stum, B. An Introduction to Condensed Mathematics, SMF (2023–2025).
- Riehl, E. Category Theory in Context, Dover (2016).
- Mac Lane, S. Categories for the Working Mathematician, 2ª ed., Springer (1978).
- Mac Lane, S. & Moerdijk, I. Sheaves in Geometry and Logic, Springer (1992).