Matemáticas Condensadas II — Sitios, Gavillas y Condensación

Segundo curso de la serie Matemáticas Condensadas. Posgrado en Ciencias Matemáticas, UNAM (Temas Selectos de Geometría Algebraica IV), semestre 2026-2. En línea. 28 sesiones de 1.5 h. Código: MC-II-2026-2.

Continúa desde los fundamentos categóricos y topológicos de MC-I para formalizar la noción de sitio y topos de Grothendieck, el sitio profinito y la categoría de conjuntos condensados como gavillas sobre él. Introduce grupos abelianos condensados, categorías sólidas y líquidas, y explora la condensación de la geometría compleja clásica (GAGA, dualidad de Serre) siguiendo las Condensed Mathematics and Complex Geometry Lectures (Clausen–Scholze, Bonn–Copenhagen 2022).

Profesor: Jesús Rogelio Pérez Buendía (CIMAT Mérida — CONAHCYT).

Temario

Bloque I — Sitios y topologías de Grothendieck (6 sesiones)

Definición de sitio, coberturas y refinamientos. Ejemplos: sitio topológico usual, sitio étale, sitio finito, sitio profinito. Construcción del sitio de Stone y relación con la topología de Cantor.

Bloque II — Gavillas, Topoi y Categorías de Sheaves (5 sesiones)

Sheafificación y el adjunto asociado: del presheaf al sheaf. Propiedades de los topoi locales y del topos de conjuntos. El lema de Yoneda revisitado. Condición de gluing y axioma de separación. Gavillas constantes, módulos y anillos. Categoría de gavillas sobre un sitio: exactitud y adjunciones. Topos de Grothendieck: definición, morfismos, propiedades. Comparación entre sitios equivalentes. Ejemplos: topos étale, topos prodiscreto, topos de espacios de Stone.

Bloque II bis — Categorías abelianas y exactitud (3 sesiones)

Definición de categoría aditiva y abeliana. Secuencias exactas, imágenes y coimágenes. Axiomas de Grothendieck (AB1–AB6) y noción de categoría de Grothendieck. Funtores exactos, derivación y cohomología de gavillas (visión preliminar).

Bloque III — El Sitio Profinito y Conjuntos Condensados (7 sesiones)

Definición del sitio profinito

$$*_{\mathrm{pro\acute{e}t}}$$

: conjuntos profinitos, coberturas finitas. Construcción explícita de

$$*_{\mathrm{pro\acute{e}t}}$$

. Definición de conjunto condensado como gavilla sobre

$$*_{\mathrm{pro\acute{e}t}}$$

. Propiedades: quasicompacto, quasiseparado (qcqs), proyección y límite. Ejemplos:

$$\mathbb{R}, \mathbb{Z}_p, \mathbb{Q}_p$$

como conjuntos condensados. Funtor de asociación

$$X \mapsto \underline{X}$$

para espacios topológicos. Relación entre Cond y Top. Reconstrucción de la topología de un espacio Hausdorff a partir de su condensado.

Bloque IV — Grupos y Espacios Vectoriales Condensados (4 sesiones)

Definición de grupos abelianos condensados y sus propiedades categóricas. La categoría Ab(Cond) como abeliana de Grothendieck (AB5, AB6, AB4*). Secuencia exacta

$$0 \to \mathbb{Z} \to \mathbb{R} \to \mathbb{R}/\mathbb{Z} \to 0$$

. Comparación con grupos topológicos y espacios de Banach. Definición de espacios vectoriales líquidos, categorías sólidas y completitud.

Bloque V — Aplicaciones Analíticas y GAGA Condensado (3 sesiones)

El caso complejo: reinterpretación de las funciones holomorfas como secciones condensadas. Estructura de haz en

$$\mathbb{C}$$

y su cohomología condensada. GAGA condensado: equivalencia entre coherencia algebraica y analítica. Dualidad de Serre y noción de módulo nuclear.

Videos del curso

El curso está en curso (2026). Los videos se publicarán en el canal de YouTube conforme avance el semestre.

Bibliografía

Primarias

  • Clausen, D. & Scholze, P. Condensed Mathematics and Complex Geometry, Bonn–Copenhagen Lectures (2022).
  • Le Stum, B. An Introduction to Condensed Mathematics, SMF (2023–2025).
  • Clausen, D. & Scholze, P. Condensed Mathematics I–III, arXiv:2007.01885, 2007.01889, 2106.09645.

Complementarias

  • Kashiwara, M. & Schapira, P. Categories and Sheaves, Springer (2006).
  • Mac Lane, S. & Moerdijk, I. Sheaves in Geometry and Logic, Springer (1992).
  • Johnstone, P. T. Sketches of an Elephant, Oxford (2002).
  • Riehl, E. Category Theory in Context, Dover (2016).