Dinámica no-arquimediana en espacios de Berkovich

Curso de posgrado impartido en CIMAT Mérida (Temas Selectos de Geometría Algebraica I, clave GA-DP2023, 18SGAL01), enero–julio 2023.

Estudia la dinámica de endomorfismos racionales en la recta proyectiva de Berkovich

$$\mathbb{P}^1_{\mathrm{Berk}}$$

: puntos de Berkovich, topología, medidas de equilibrio, conjuntos de Fatou y Julia en el sentido no-arquimediano, y conexiones con la dinámica p-ádica clásica.

Profesor: Jesús Rogelio Pérez Buendía (CIMAT Mérida — CONAHCYT).

Materiales del curso: Google Classroom GA-DP2023 · Canal YouTube · Playlist: Esquemas II (prerrequisitos)

Temario

Prerrequisitos de esquemas (Bloque 0) Límites y colímites. Productos fibrados. Cambios de base. Esquemas proyectivos. Morfismos de tipo finito y casicompactos.

Bloque I. Geometría analítica p-ádica El espacio de Berkovich: definición y topología. Puntos de tipo I–IV. La recta proyectiva de Berkovich

$$\mathbb{P}^1_{\mathrm{Berk}}$$

. Estructura de árbol real. Métricas y distancias.

Bloque II. Dinámica en espacios de Berkovich Morfismos racionales en

$$\mathbb{P}^1_{\mathrm{Berk}}$$

. Medida de equilibrio y potencial logarítmico. Conjuntos de Fatou y Julia no-arquimediano: definición y propiedades. Comparación con la dinámica compleja.

Bloque III. Conexiones Dinámica p-ádica clásica vs. Berkovich. Aplicaciones a sistemas dinámicos aritméticos y puntos periódicos.

Bibliografía

  • Baker, M. & Rumely, R. Potential Theory and Dynamics on the Berkovich Projective Line, AMS (2010).
  • Benedetto, R. Dynamics in One Non-Archimedean Variable, AMS (2019).
  • Berkovich, V. Spectral Theory and Analytic Geometry over Non-Archimedean Fields, AMS (1990).
  • Silverman, J. The Arithmetic of Dynamical Systems, Springer (2007).