Course | Rogelio Pérez Buendía

Matemáticas Condensadas II — Sitios, Gavillas y Condensación

Mon, 12 Jan 2026 00:00:00 +0000

Segundo curso de la serie Matemáticas Condensadas. Posgrado en Ciencias Matemáticas, UNAM (Temas Selectos de Geometría Algebraica IV), semestre 2026-2. En línea. 28 sesiones de 1.5 h. Código: MC-II-2026-2.

Continúa desde los fundamentos categóricos y topológicos de MC-I para formalizar la noción de sitio y topos de Grothendieck, el sitio profinito y la categoría de conjuntos condensados como gavillas sobre él. Introduce grupos abelianos condensados, categorías sólidas y líquidas, y explora la condensación de la geometría compleja clásica (GAGA, dualidad de Serre) siguiendo las Condensed Mathematics and Complex Geometry Lectures (Clausen–Scholze, Bonn–Copenhagen 2022).

Profesor: Jesús Rogelio Pérez Buendía (CIMAT Mérida — CONAHCYT).

Temario

Bloque I — Sitios y topologías de Grothendieck (6 sesiones)

Definición de sitio, coberturas y refinamientos. Ejemplos: sitio topológico usual, sitio étale, sitio finito, sitio profinito. Construcción del sitio de Stone y relación con la topología de Cantor.

Bloque II — Gavillas, Topoi y Categorías de Sheaves (5 sesiones)

Sheafificación y el adjunto asociado: del presheaf al sheaf. Propiedades de los topoi locales y del topos de conjuntos. El lema de Yoneda revisitado. Condición de gluing y axioma de separación. Gavillas constantes, módulos y anillos. Categoría de gavillas sobre un sitio: exactitud y adjunciones. Topos de Grothendieck: definición, morfismos, propiedades. Comparación entre sitios equivalentes. Ejemplos: topos étale, topos prodiscreto, topos de espacios de Stone.

Bloque II bis — Categorías abelianas y exactitud (3 sesiones)

Definición de categoría aditiva y abeliana. Secuencias exactas, imágenes y coimágenes. Axiomas de Grothendieck (AB1–AB6) y noción de categoría de Grothendieck. Funtores exactos, derivación y cohomología de gavillas (visión preliminar).

Bloque III — El Sitio Profinito y Conjuntos Condensados (7 sesiones)

Definición del sitio profinito

$$*_{\mathrm{pro\acute{e}t}}$$

: conjuntos profinitos, coberturas finitas. Construcción explícita de

$$*_{\mathrm{pro\acute{e}t}}$$

. Definición de conjunto condensado como gavilla sobre

$$*_{\mathrm{pro\acute{e}t}}$$

. Propiedades: quasicompacto, quasiseparado (qcqs), proyección y límite. Ejemplos:

$$\mathbb{R}, \mathbb{Z}_p, \mathbb{Q}_p$$

como conjuntos condensados. Funtor de asociación

$$X \mapsto \underline{X}$$

para espacios topológicos. Relación entre Cond y Top. Reconstrucción de la topología de un espacio Hausdorff a partir de su condensado.

Bloque IV — Grupos y Espacios Vectoriales Condensados (4 sesiones)

Definición de grupos abelianos condensados y sus propiedades categóricas. La categoría Ab(Cond) como abeliana de Grothendieck (AB5, AB6, AB4*). Secuencia exacta

$$0 \to \mathbb{Z} \to \mathbb{R} \to \mathbb{R}/\mathbb{Z} \to 0$$

. Comparación con grupos topológicos y espacios de Banach. Definición de espacios vectoriales líquidos, categorías sólidas y completitud.

Bloque V — Aplicaciones Analíticas y GAGA Condensado (3 sesiones)

El caso complejo: reinterpretación de las funciones holomorfas como secciones condensadas. Estructura de haz en

$$\mathbb{C}$$

y su cohomología condensada. GAGA condensado: equivalencia entre coherencia algebraica y analítica. Dualidad de Serre y noción de módulo nuclear.

Videos del curso

El curso está en curso (2026). Los videos se publicarán en el conforme avance el semestre.

Bibliografía

Primarias

Clausen, D. & Scholze, P. Condensed Mathematics and Complex Geometry, Bonn–Copenhagen Lectures (2022).
Le Stum, B. An Introduction to Condensed Mathematics, SMF (2023–2025).
Clausen, D. & Scholze, P. Condensed Mathematics I–III, arXiv:2007.01885, 2007.01889, 2106.09645.

Complementarias

Kashiwara, M. & Schapira, P. Categories and Sheaves, Springer (2006).
Mac Lane, S. & Moerdijk, I. Sheaves in Geometry and Logic, Springer (1992).
Johnstone, P. T. Sketches of an Elephant, Oxford (2002).
Riehl, E. Category Theory in Context, Dover (2016).

Matemáticas Condensadas I — Fundamentos categóricos y topológicos

Tue, 12 Aug 2025 00:00:00 +0000

Curso del Posgrado en Ciencias Matemáticas de la UNAM (clave 67941, Temas Selectos de Geometría II), impartido en línea (sesiones sincrónicas), agosto–diciembre 2025. Horario: martes y jueves 12:00–13:30 (hora centro de México). 6 créditos.

Introduce los fundamentos categóricos y topológicos de la teoría de conjuntos condensados (Clausen–Scholze): categorías, funtores, transformaciones naturales, lema de Yoneda, límites y colímites, adjunciones, gavillas, sitios de Grothendieck, grupos topológicos, espacios de Stone y conjuntos profinitos. Primera parte de la serie Matemáticas Condensadas.

Profesor: Jesús Rogelio Pérez Buendía (CIMAT Mérida — CONAHCYT). Referencia principal: Bernard Le Stum, An Introduction to Condensed Mathematics (SMF, 2023–2025).

Temario

Bloque I. Categorías y funtores

Definición de categoría y morfismos. Ejemplos: Set, Top, Ab, Ring, categorías opuestas. Funtores covariantes y contravariantes. Isomorfismos de categorías. Subcategorías y categorías llenas.

Bloque II. Transformaciones naturales y el lema de Yoneda

Transformaciones naturales. Equivalencias de categorías. Lema de Yoneda: enunciado y demostración. Representabilidad y funtores representables. El funtor de puntos.

Bloque III. Límites, colímites y adjunciones

Límites y colímites: productos, coigualadores, pullbacks. Compacidad categórica. Funtores adjuntos (definición, ejemplos, propiedades). Teorema del funtor adjunto. Adjunción y exactitud. Colímites exactos y categorías reflectivas. Extensiones de Kan.

Bloque IV. Gavillas y sitios de Grothendieck

Presheaves y sheaves sobre un espacio topológico. Gavillas: axiomas de separación y gluing. Sheafificación. Sitios de Grothendieck: coberturas y topologías. El sitio de Zariski. Gavillas sobre sitios y el topos de Grothendieck.

Bloque V. Grupos topológicos y conjuntos profinitos

Grupos topológicos: definiciones y propiedades. Límites de grupos finitos. Grupos profinitos y topología de Stone. Álgebras booleanas y dualidad de Stone. Compactificación de Stone–Čech. Conjuntos profinitos y el sitio profinito. Preámbulo a los conjuntos condensados.

Presentaciones (PDF)

Programa del curso: .

Las diapositivas de cada sesión (cuando estén publicadas) se abren aquí con el visor integrado del sitio, igual que en las conferencias (enlace «ver» en la tabla). Por ahora solo hay presentación para las clases 1 y 18 y el programa; el resto se irá completando cuando añadas los PDF correspondientes.

Videos del curso

Las sesiones están disponibles en la (24 grabaciones).

Clase	Tema	Presentación
1	Introducción y motivación
3	Fundamentos categóricos II	—
4	Funtores I	—
5	Funtores II	—
6	Transformaciones naturales I	—
7	Transformaciones naturales II	—
8	El lema de Yoneda	—
9	Límites categóricos	—
11	Gavillas (y algo de funtores adjuntos)	—
12	Funtores adjuntos	—
13	Funtores adjuntos II: más allá de la equivalencia	—
14	Límites y representabilidad	—
16	Compacidad categórica	—
17	Adjunción y límites	—
18	Teorema del funtor adjunto
19	Colímites exactos, categorías reflectivas y extensiones de Kan	—
20	Grupos topológicos I: definiciones y primeras propiedades	—
22	Grupos topológicos III	—
25	Espacios de Stone, álgebras booleanas y compactificación de Stone–Čech	—
26	Topología, k-espacios y el camino hacia los sitios de Grothendieck	—
27	Sitios, Zariski y gavillas: la geometría desde la mirada categórica	—

Canal completo:

Bibliografía

Le Stum, B. An Introduction to Condensed Mathematics, SMF (2023–2025).
Riehl, E. Category Theory in Context, Dover (2016).
Mac Lane, S. Categories for the Working Mathematician, 2ª ed., Springer (1978).
Mac Lane, S. & Moerdijk, I. Sheaves in Geometry and Logic, Springer (1992).

Teoría de Números y Sistemas Dinámicos Discretos

Mon, 07 Jul 2025 00:00:00 +0000

Mini-curso impartido en el Curso de Verano CIMAT 2025, julio 2025. Título completo: Teoría de Números y Sistemas Dinámicos Discretos: Descifrando la Dinámica de Redes Genéticas.

Presenta los fundamentos de la dinámica p-ádica y su aplicación al modelado de redes de regulación genética (RRG), mostrando cómo la teoría de números —en particular los números p-ádicos— proporciona herramientas naturales para describir la dinámica discreta de sistemas biológicos.

Profesor: Jesús Rogelio Pérez Buendía (CIMAT Mérida — CONAHCYT).

Videos del curso

Sesión	Tema	Video
1.2	Teoría de números y sistemas dinámicos discretos — introducción
2.1	Descifrando la dinámica de redes genéticas I
2.2	Descifrando la dinámica de redes genéticas II
2.3	Sesión final

Canal:

Bibliografía

Anashin, V. & Khrennikov, A. Applied Algebraic Dynamics, de Gruyter (2009).
Pérez-Buendía, J.R., Cortes-Poza, Y. & Padilla-Longoria, P. Epigenetic forest and flower morphogenesis. Comput. Biol. Chem. 98, 107667 (2022).
Khrennikov, A. p-Adic Numbers in Ultrametric Analysis and Applications, Springer (2010).

Temas Selectos de Geometría Algebraica III — Esquemas y Curvas Elípticas

Mon, 15 Jan 2024 00:00:00 +0000

Curso de posgrado en línea (Temas Selectos de Geometría Algebraica III, clave 90SGAL03), impartido para el Posgrado en Ciencias Matemáticas CIMAT/UNAM/UADY, 2024.

Presenta los fundamentos de la teoría de esquemas enfocados hacia las curvas elípticas: espacios anillados, el espectro de un anillo, gavillas coherentes, esquemas proyectivos y el funtor de puntos. Segunda parte de la serie de cursos de geometría algebraica.

Profesor: Jesús Rogelio Pérez Buendía (CIMAT Mérida — CONAHCYT).

Videos del curso

Clase	Tema	Video
1	Esquemas y Curvas Elípticas — introducción 2024
2	Espacios anillados y espectro de un anillo
3	Esquemas II
4	Gavillas coherentes
5	Puntos racionales y ejemplos
6	Propiedades topológicas de esquemas
7	Esquemas proyectivos I
8	Gavillas en esquemas proyectivos
9	Esquemas como funtores
10	Sesión final

Canal:

Bibliografía

Hartshorne, R. Algebraic Geometry, Springer (1977).
Silverman, J. The Arithmetic of Elliptic Curves, 2ª ed., Springer (2009).
Vakil, R. The Rising Sea: Foundations of Algebraic Geometry (notas, 2024).

Sistemas Dinámicos p-ádicos y Aplicaciones

Mon, 07 Aug 2023 00:00:00 +0000

Curso de posgrado impartido para la Maestría en Ciencias Matemáticas de la UNAM (Temas Selectos de Álgebra I, clave CDPA2023), semestre 2023-2 (agosto–diciembre 2023). En línea.

Estudia los sistemas dinámicos definidos por funciones racionales sobre los números p-ádicos

$$\mathbb{Q}_p$$

y sus extensiones: métricas no-arquimedianas, órbitas, puntos fijos y periódicos, conjuntos de Fatou y Julia p-ádicos, y aplicaciones a modelos biológicos de redes genéticas y morfogénesis.

Profesor: Jesús Rogelio Pérez Buendía (CIMAT Mérida — CONAHCYT).

Videos:

Temario

Bloque I. Números p-ádicos Métrica p-ádica y desigualdad ultramétrica. Completitud y el cuerpo

$$\mathbb{Q}_p$$

. Enteros p-ádicos

$$\mathbb{Z}_p$$

. Series de potencias p-ádicas.

Bloque II. Dinámica p-ádica Funciones analíticas p-ádicas. Puntos fijos, períodos y multiplicadores. Teorema de Hensel. Conjuntos de Fatou y Julia p-ádicos: definición y propiedades básicas. Comparación con la dinámica compleja.

Bloque III. Modelos p-ádicos en biología matemática Modelos p-ádicos de redes de regulación genética. Dinámica p-ádica en modelos de morfogénesis. Resultados del proyecto ArquiBio (Padilla-Longoria, Pérez-Buendía et al.).

Bibliografía

Anashin, V. & Khrennikov, A. Applied Algebraic Dynamics, de Gruyter (2009).
Benedetto, R. Dynamics in One Non-Archimedean Variable, AMS (2019).
Gouvêa, F. p-adic Numbers: An Introduction, 3ª ed., Springer (2020).
Silverman, J. The Arithmetic of Dynamical Systems, Springer (2007).

Curvas Elípticas

Tue, 01 Aug 2023 00:00:00 +0000

Curso de curvas elípticas (CCE2023) impartido para el Posgrado en Matemáticas de la UNAM (semestre 2024-1) y el Posgrado UADY. En línea.

Cubre los fundamentos de geometría algebraica clásica necesarios para el estudio de curvas elípticas: variedades afines y proyectivas, morfismos, propiedades topológicas, y una introducción a los esquemas. Primer acercamiento a las curvas elípticas desde la perspectiva moderna.

Profesor: Jesús Rogelio Pérez Buendía (CIMAT Mérida — CONAHCYT).

Videos del curso

Clase	Tema	Video
0	Introducción a las curvas elípticas y formas modulares
1	Variedades afines y curvas afines
2	Variedades y curvas planas II
3	Variedades proyectivas
4	Variedades proyectivas II
6	Propiedades topológicas de esquemas
10	Sesión complementaria — esquemas y CE 2024

Canal:

Bibliografía

Silverman, J. The Arithmetic of Elliptic Curves, 2ª ed., Springer (2009).
Silverman, J. & Tate, J. Rational Points on Elliptic Curves, Springer (1992).
Hartshorne, R. Algebraic Geometry, Springer (1977).

Esquemas y Curvas Aritméticas

Tue, 01 Aug 2023 00:00:00 +0000

Curso de posgrado impartido en CIMAT Mérida (Temas Selectos de Geometría Algebraica, clave GA-ES2023), agosto 2023–enero 2024. Maestría y Doctorado en Ciencias Matemáticas.

Introduce la teoría de esquemas desde los fundamentos del álgebra conmutativa hasta los esquemas proyectivos, morfismos de tipo finito y curvas aritméticas.

Profesor: Jesús Rogelio Pérez Buendía (CIMAT Mérida — CONAHCYT).

Temario

Bloque I. Fundamentos de álgebra conmutativa Producto tensorial de módulos y álgebras (I–IV). Planaridad: definición, criterios, localización. Naturaleza local de la planaridad. Fielmente plano.

Bloque II. Esquemas afines Conjuntos algebraicos y Nullstellensatz. Gavillas (presheaves, sheaves, gavillificación, morfismos, tallos). Espacios anillados. La gavilla estructural de Spec(A). Definición de esquema y morfismos.

Bloque III. Propiedades de esquemas Subesquemas cerrados. S-esquemas y secciones globales. Anti-equivalencia entre esquemas afines y anillos. Pegado de esquemas. Puntos K-racionales. Esquemas proyectivos: Proj B (I–II) y sus puntos racionales.

Bloque IV. Geometría de esquemas Esquemas reducidos y componentes irreducibles. Puntos genéricos. Esquemas íntegros. Dimensión de Krull (I–II).

Videos del curso

Clases	Tema
1–3	Invitación a los esquemas y a la aritmética
4–8	Producto tensorial (I–V)
9–12	Planaridad (I–IV)
13–19	Fielmente plano, Nullstellensatz, gavillas (I–VI)
20–28	Espacios anillados, gavilla estructural de Spec(A), morfismos, esquemas proyectivos
29–36	Esquemas reducidos, componentes irreducibles, esquemas íntegros, dimensión

Canal:

Bibliografía

Hartshorne, R. Algebraic Geometry, Springer (1977).
Vakil, R. The Rising Sea: Foundations of Algebraic Geometry (notas, 2024).
Mumford, D. The Red Book of Varieties and Schemes, Springer (1999).
Atiyah, M. & Macdonald, I. Introduction to Commutative Algebra, Westview Press (1969).

Dinámica no-arquimediana en espacios de Berkovich

Mon, 16 Jan 2023 00:00:00 +0000

Curso de posgrado impartido en CIMAT Mérida (Temas Selectos de Geometría Algebraica I, clave GA-DP2023, 18SGAL01), enero–julio 2023.

Estudia la dinámica de endomorfismos racionales en la recta proyectiva de Berkovich

$$\mathbb{P}^1_{\mathrm{Berk}}$$

: puntos de Berkovich, topología, medidas de equilibrio, conjuntos de Fatou y Julia en el sentido no-arquimediano, y conexiones con la dinámica p-ádica clásica.

Profesor: Jesús Rogelio Pérez Buendía (CIMAT Mérida — CONAHCYT).

Materiales del curso: · ·

Temario

Prerrequisitos de esquemas (Bloque 0) Límites y colímites. Productos fibrados. Cambios de base. Esquemas proyectivos. Morfismos de tipo finito y casicompactos.

Bloque I. Geometría analítica p-ádica El espacio de Berkovich: definición y topología. Puntos de tipo I–IV. La recta proyectiva de Berkovich

$$\mathbb{P}^1_{\mathrm{Berk}}$$

. Estructura de árbol real. Métricas y distancias.

Bloque II. Dinámica en espacios de Berkovich Morfismos racionales en

$$\mathbb{P}^1_{\mathrm{Berk}}$$

. Medida de equilibrio y potencial logarítmico. Conjuntos de Fatou y Julia no-arquimediano: definición y propiedades. Comparación con la dinámica compleja.

Bloque III. Conexiones Dinámica p-ádica clásica vs. Berkovich. Aplicaciones a sistemas dinámicos aritméticos y puntos periódicos.

Bibliografía

Baker, M. & Rumely, R. Potential Theory and Dynamics on the Berkovich Projective Line, AMS (2010).
Benedetto, R. Dynamics in One Non-Archimedean Variable, AMS (2019).
Berkovich, V. Spectral Theory and Analytic Geometry over Non-Archimedean Fields, AMS (1990).
Silverman, J. The Arithmetic of Dynamical Systems, Springer (2007).

Teoría algebraica de números

Mon, 01 Aug 2022 00:00:00 +0000

Teoría algebraica de números. CIMAT y Universidad de Guanajuato. .

Grupos de Galois y Grupos Fundamentales

Mon, 10 Jan 2022 00:00:00 +0000

Curso de posgrado impartido en CIMAT Mérida (Temas Selectos de Geometría Algebraica II), enero–julio 2022. Maestría en Ciencias Matemáticas.

Estudia la conexión profunda entre los grupos de Galois de cuerpos y el grupo fundamental de variedades algebraicas, pasando por la teoría de cubiertas, el grupo fundamental étale (Grothendieck) y las representaciones de Galois.

Profesor: Jesús Rogelio Pérez Buendía (CIMAT Mérida — CONAHCYT).

Videos del curso

Canal:

Bibliografía

Szamuely, T. Galois Groups and Fundamental Groups, Cambridge (2009).
Neukirch, J., Schmidt, A. & Wingberg, K. Cohomology of Number Fields, 2ª ed., Springer (2008).
Milne, J.S. Lectures on Étale Cohomology (notas, disponibles en jmilne.org).
Grothendieck, A. et al. SGA 1: Revêtements Étales et Groupe Fondamental, SMF (2003).

Teoría de Galois

Sat, 01 Jan 2022 00:00:00 +0000

Teoría de Galois. Licenciatura, Facultad de Matemáticas UADY. · .

Videos:

Introducción al análisis p-ádico

Wed, 01 Jan 2020 00:00:00 +0000

Introducción al análisis p-ádico. Facultad de Matemáticas UADY (enero–julio 2020).

Videos:

Matemáticas para la Ingeniería I (MPI2020)

Wed, 01 Jan 2020 00:00:00 +0000

Matemáticas para la Ingeniería I. UTP Yucatán (2020).

Videos:

Temas Selectos de Geometría Algebraica I — Representaciones de Galois p-ádicas

Wed, 01 Jan 2020 00:00:00 +0000

Curso del Posgrado (Maestría) en Ciencias Matemáticas de la UNAM — en el registro oficial figura como Curso avanzado de geometría: representaciones de Galois p-ádicas, clave 62580, grupo TF02, semestre 2021-1 (constancia de la Coordinación del Programa de Posgrado en Ciencias Matemáticas, 7 de junio de 2023). Impartición en línea durante la pandemia de COVID-19.

Videos: .

Introducción a la criptografía y teoría de números

Thu, 01 Aug 2019 00:00:00 +0000

Introducción a la criptografía y teoría de números. Facultad de Matemáticas UADY (agosto–diciembre 2019).

Temas: aritmética modular, teorema de Fermat-Euler, criptosistemas de llave pública (RSA, ElGamal), curvas elípticas en criptografía, protocolos de intercambio de llaves.

Geometría algebraica aritmética

Tue, 01 Jan 2019 00:00:00 +0000

Geometría algebraica aritmética. Facultad de Matemáticas UADY (enero–mayo 2019).

Videos:

Álgebra conmutativa

Wed, 01 Aug 2018 00:00:00 +0000

Álgebra conmutativa. Facultad de Matemáticas UADY (agosto–diciembre 2018).

Impartido en Facultad de Matemáticas UADY.

Videos:

Geometría p-ádica (espacios de Berkovich)

Mon, 01 Jan 2018 00:00:00 +0000

Geometría p-ádica en espacios de Berkovich. Doctorado en Ciencias (Matemáticas Básicas), CIMAT (enero–julio 2018).

Material: notas del curso en PDF (Geometría p-ádica Berkovich). Enlace al PDF disponible en o en la sección de cursos si se sube a static.

Videos:

Criptografía I

Tue, 01 Aug 2017 00:00:00 +0000

Introducción a la criptografía y a la teoría de números (Criptografía I). Facultad de Matemáticas UADY (agosto–diciembre 2017).

Videos: