Método de Newton – Raphson
Consideremos la ecuación f(x) = 0 (donde f es una función vectorial de variable vectorial) equivalente a un sistema de ecuaciones no lineales.
Sea x la solución exacta del sistema y xn una aproximación de ella. Si denotamos por h = x - xn se tiene que:
x = xn + h
y haciendo uso del desarrollo de Taylor obtenemos que:
0 = f(x) = f(xn + h) ≈ f(xn) + f'(xn)h
de donde
h ≈ - f ' -1 (xn) f(xn)
y por tanto
x ≈ xn - f ' -1 (xn) f(xn)
Esta aproximación es la que utilizaremos como valor de xn+1, es decir
xn+1 = xn - f ' -1 (xn) f(xn)
Obsérvese entonces que cada iteración del método de Newton se reduce al cálculo del vetor h correspondiente y éste no es mas que la solución del sistema de ecuaciones lineales
f ' (xn) h + f(xn) = 0
En definitiva, podemos observar que la resolución de un sistema de ecuaciones no lineales mediante el método de Newton se reduce, en cada iteración, a la resolución de un sistema de ecuaciones lineales.
La debilidad del método de Newton se debe a la necesidad de calcular la resolución del sistema de ecuaciones lineales antes mencionado (o invertir la matriz jacobiana) en cada paso.