Como saber cuando de dos trenzas podemos recuperar el mismo nudo? Para responder esta pregunta estudiaremos otros dos tipos de operaciones. Una de ellas es la conjugación (quien tenga nocion de teoria de grupos sabrá de que estamos hablando), esto quiere decir multiplicar una palabra w (trenza) por otra b_i al comienzo y despues por b_i^-1 al final, o veceverza, esto es:

Esta operacion tambien corresponde a la movida II de Reidemester.

Otra operacion es la stabilization, que toma una palabra w correspondiente a una trenza de n hilos y la reemplaza con la palbra wb_n o wb_n ^-1 que corresponde a una trenza de n+1 hilos. El inverso de esta operacion es tener una palabra wb_n o wb_n ^-1 y reemplazarla por w, asumiendo que w no contiene letras b_n o b_n ^-1 .

Notese que esta operacion es lo mismo que hacer la movida I de Reidemeister en la proyeccion del nudo obtenido al cerrar la trenza.

Se dice que dos trenzas son Marcov-equivalentes si podemos llevar una a la otra por medio de una sucesion finita de algunas de las 5 operaciones que hemos visto (las relaciones de Artin, conjugacion y stabilization.

El teorema de Moarcov afirma que dos trenzas son Marcov-equivalentes ssi su costura nos da el mismo nudo.

Esto no es dificil de ver, ya que tenemos caracterizadas las movidas I y II de Reidemester, la movida III la podemos ver como consecuencia de las elaciones ya vistas.

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