Algebra Lineal I

(para las licenciaturas en matemáticas y computación)

Semestre Feb-Jun 2007

Facultad de Matemáticas, Universidad de Guanajuato

Profesor: Adolfo Sánchez Valenzuela [CIMAT-FAMAT]

Ayudantes del curso: Mary Carmen Rodríguez Vallarte carmen@cimat.mx y Sofía Ortega Castillo chofis@cimat.mx


Introducción

El plan de estudios de la Facultad de Matemáticas contiene un tronco común de asignaturas que son fundamentales para todas las orientaciones que se ofrecen en las carreras de matemáticas. Dentro de este tronco común hay dos cursos básicos de álgebra y geometría en el primer semestre que, desde hace más de seis años, impartimos en forma conjunta como si se tratara de un solo curso. Además de éstos hay dos cursos de álgebra lineal que se imparten en el segundo y tercero semestres, respectivamente. Tomados en conjunto, estos cuatro cursos tienen por objetivo proporcionar a los alumnos las bases de álgebra y geometría sobre las que se habrán de apoyar una enorme cantidad de conocimientos que se aprenderán en otras asignaturas. Dicho de otra manera, los cursos de Elementos de Geometría, Matemáticas Elementales y Álgebra Lineal (I y II), son fundamentales (ie, fundacionales), como también lo son los cuatro cursos de Cálculo Diferencial e Integral y los cursos introductorios a las ciencias de la computación y a la probabilidad y estadística.


Libros de Referencia para la clase

[En clase se mencionará de cuál de estos textos se toma el material expuesto y de cuáles de ellos se preparan los ejercicios de tarea. Aquí se enlistan en orden de uso, importancia y relevancia para el curso]

[1.a] Morton L. Curtis, Abstract Linear Algebra; Springer-Verlag, New York (1990).

[2.a] Serge Lang, Linear Algebra (Second Edition); Addison Wesley, Reading Massachusetts (1973).

[3.a] Kenneth Hofmann y Ray Kunze, Álgebra Lineal; Prentice Hall, México (Edición en Español, 1973).

También tomaremos cierto material de los siguientes textos:

[1.b] Klaus Jänich, Linear Algebra; Springer-Verlag, New York (1994).

[2.b] Morton L. Curtis, Matrix Groups; Springer-Verlag, New York

[3.b] Tapp, Kristopher, Matrix Groups for Undergraduates; AMS Student Mathematical Library, Vol29 (2005)


Temario del curso

1. Espacios Vectoriales y transformaciones lineales
2. Productos, sumas y cocientes de espacios vectoriales
3. Bases y dimensión
4. Matrices y álgebras
5. Determinantes y expansión de Laplace
6. Eigenvectores y eigenvalores
7. Invertibilidad y triangulación de matrices
8. Espacios vectoriales con producto interior
9. Nociones básicas de geometría Euclideana
10. Espacios duales y transposición

Estos temas están contenidos entre los dos primeros y la primera parte del cuarto capítulos de la referencia [1].


Organización del curso de Álgebra Lineal

El material del curso estará básicamente apoyado sobre los contenidos de los libros de texto recomendados y muy particularmente sobre [1.a] y [3.b]. Sobre la marcha se asignarán también algunas lecturas especiales (disponibles en la biblioteca, o en internet) y se recomendará consultar las exposiciones de ciertos temas en otros libros. Es la intención del profesor mantener al día una página electrónica con la información del estado del curso (material cubierto en la semana, referencias especiales, lecturas recomendadas, problemas de tarea, etc.)

Es responsabilidad de los alumnos aprender y dominar el temario y la mejor `receta' para conseguirlo es aprender a leer un libro de texto de matemáticas usando como brújula lo que se ha visto en clase. Esto significa, además de leer en un sentido literal, aprender a entender y a comprender el tema a través de la resolución de todos los ejercicios que contiene el libro. El papel del profesor será comparable al de un guía en un museo. El guía, guía; aunque también responde a las preguntas y profundiza según las necesidades de sus guiados (a juzgar por los resultados de las evaluaciones que se hacen a lo largo de la `visita al museo'), pero básicamente, la matemática se aprende trabajando en ella a través de lecturas y ejercicios con una buena `brújula' para no perderse. Desde luego, es responsabilidad del profesor ser una brújula confiable y propiciar de una manera eficaz el que los alumnos puedan desarrollar las habilidades que les permitan resolver problemas en forma concise y precisa. (He aquí un ejemplo de una situación evolutiva de los programas educativos en la que no quisiéramos caer; lo que queremos es que cada vez nuestros estudiantes sean más hábiles para resolver problemas y que cada vez sean más hábiles para manejar problemas `vestidos' de física, química, biología, economía, etc.).


Instrumentos de evaluación del curso

1. Tareas semanales (a entregar los jueves de cada semana)
2. Exámenes parciales
3. Un Examen final (con dos oportunidades de ser aprobado)

Para tener derecho al examen final es preciso entregar (por escrito o en un archivo de formato PDF) un resumen de todo el curso. Es recomendable contar con un resumen antes de cada examen parcial.


Forma cualitativa de calificar las preguntas de las tareas y los exámenes

Cada pregunta de las tareas y de los exámenes se califica sobre una escala del 0 al 10; entenderemos que la pregunta está MAL respondida (M) si la calificación es menor o igual que 3. Entenderemos que está MEDIANAMENTE respondida (R) si la calificación está entre 4 y 7 ["medianamente" debe considerarse sinónimo de "mediocremente", o de "no ha estado bien"] y que está BIEN respondida (B) si la calificación es mayor o igual que 8. De cada tarea y de cada examen se tomará la terna (B,R,M) como un indicativo de la calificación. La calificación debe apreciarse en términos cualitativos, más que en términos numéricos. La tarea o el examen estará claramente APROBADA/O si B > R + M; observar que no necesariamente puede ser cierto que  ``si B + R > M entonces el examen o la tarea estará aprobado/a''; el contraejemplo es el de una tarea o examen en el que todas las preguntas hayan obtenido calificaciones menores o iguales a 5 (cinco); en un caso así, la calificación debe considerarse REPROBATORIA. El curso estará aprobado si la calificación del examen final satisface el criterio B > R + M. Estaremos publicando -en la página de alguna de las ayudantes del curso- algunas estadísticas obtenidas de las tareas y de los exámenes.


Forma numérica de calificar el curso

El desempeño de cada alumno será calificado a través de M exámenes parciales espaciados entre sí, aproximadamente,
por tres semanas y media y por un examen final. Habrán tareas semanales que contribuirán en un X% a la calificación final
del curso. El (1-X)% proveniente de los exámenes consistirá en un `promedio pesado': los exámenes parciales contribuyen
con un Y% y el final con un Z%. Si P_i es el resultado de del examen parcial i (i=1, 2, ..., M), si F es el resultado del examen final y si T_a es el resultado de la tarea a (a=1, 2, ..., N), entonces, la calificación final del curso se podría calcular así:
$$
C=
X\,\left(
\frac{\sum_a T_a}{N}\right)
+
(1-X)\,
\left(
\,Y\,\left(
\frac{\sum_i P_i}{M}
\right)
+Z\,F\,
\right)
$$
Sin embargo, habrá ocasión de revisar nuevamente este método de evaluación. La revisión se hará después de que en el curso de cálculo se hayan introducido las nociones de supremo e ínfimo, así como las nociones de función creciente y función decreciente. Básicamente la idea de la reestructuración de la calificación es poder tomar en cuenta variables como `esfuerzo' y `aprendizaje'. En concreto, si las calificaciones de las tareas o de los exámenes parciales van en ascenso (ie, muestran un comportamiento `creciente'), el valor de la calificación asignada a estos rubros será el `SUP' de las calificaciones obtenidas en ellos y no el promedio. (De igual manera podría tomarse el `INF' de las calificaciones obtenidas en los exámenes parciales o en las tareas en lugar del promedio, si las calificaciones muestran un comportamiento `decreciente').


Si alguien quiere asomarse a la filosofía que el profesor de estas asignaturas tiene en relación a evaluar y calificar el trabajo de los alumnos y de los profesores, puede hacerlo aquí.


Bitácora del curso

Primera semana del curso [29 de enero - 2 de febrero]:

Descripción del temario del curso y mecanismos y criterios de evaluación.

Definición de campo y definción de un espacio vectorial sobre un campo.

Ejemplo básico número 1: si F es un campo, al definir la multiplicación por escalares como la multiplicación en el campo, F mismo se convierte en un ejemplo de espacio vectorial sobre F.

Ejemplo básico número 2: si V es un espacio vectorial sobre F y si X es un conjunto arbitrario, el conjunto F^X de todas las funciones f : X -> V es un espacio vectorial sobre F bajo las "definiciones puntuales" de suma y multiplicación por escalares.

Definición de transformación lineal T : V -> W entre dos espacios vectoriales sobre F.

Más ejemplos de espacios vectoriales: si V y W son espacios vectoriales sobre F, el producto cartesiano V\times W = { (v,w) | v en V y w en W } se convierte en un espacio vectorial sobre F al definir las operaciones de suma y multiplicación por escalarescomponente a componente.

Notación: V^n := V\times V\times . . . \times V (el producto cartesiano de V n veces)

Si ñ = { 1 , 2 , . . . , n } existe una biyección obvia F^ñ -> F^n.

Notación: F^{n\times 1} = matrices de n renglones y una columna con coeficientes en F.

Existen obvias biyecciones F^ñ -> F^n -> F{n\times 1} que dictan inmediatamente cuál debe ser la estructura de espacio vectorial sobre F en F^n y en F{n\times 1} a partir de la de F^ñ (esto hace que las biyecciones sean transformaciones lineales).

Con la estructura de espacio vectorial en los productos cartesianos, {F{n\times 1}}^m = F{n\times 1}\times F{n\times 1}\times . . . \times F{n\times 1} (el producto cartesiano de F{n\times 1} tomado m veces) se obtiene la estructura de espacio vectorial sobre F de las matrices de n por m con coeficientes en F. Esto es, hay una biyección lineal {F{n\times 1}}^m -> Mat_{n\times m}(F).

Similarmente, hay una biyección lineal F^{{1,2,...,n}\times{1,2,...,m}} ->{F{n\times 1}}^m.

Definición de subespacio vectorial de un espacio vectorial.

Proposición. Si T: V -> W es una transformación lineal, los subconjuntos,

Ker T = { u en V | T(u) = 0 }  y  Im T = { w en W | existe u en V tal que  w = T(u) }

son subespacios de V y W, respectivamente.

Más construcciones de espacios vectoriales: si V y W son espacios vectoriales sobre F, el conjuntos Hom(V,W) = { T : V-> W | T es lineal } es un subespacio de del espacio vectorial W^V.

Proposición. Sea End (V) = Hom(V,V). Si S y T están End (V), entonces la composición S@T también está en End (V).
Si R, S y T están en End (V) y si a y b son elementos de F, entonces R@(aS + bT) = aR@S + bR@T y (aR + bS)@T = aR@T + bS@T.

Definición: un espacio vectorial sobre F equipado con una multiplicación asociativa bilineal (como es el caso de la composición en End (V) ) se llama una F-álgebra.

El conjunto de matrices Mat_{n\times n}(F) es un ejemplo de una F-álgebra.

Los números complejos y los cuaternios son ejemplos de R-álgebras.


Más ejemplos de espacios y subespacios vectoriales:

Sea R el campo de los números reales y sea [a,b] un intervalo en R. Definir, C^0([a,b];R) como el conjunto de todas las funciones continuas de [a,b] a R y para cualquier número natural k, definir C^k([a,b];R) como el subconjunto de C^0([a,b];R) que consta de todas las funciones f para las que f', f", . . . , f^k (k-ésima derivada) pertenecen todas a C^0([a,b];R). Es fácil demostrar que C^k([a,b];R) es un subespacio vectorial de C^0([a,b];R).

Proposición. Sea V un espacio vectorial sobre F y sea S = {W_i | i en I } un conjunto cuyos elementos W_i son subespacios de V. La interseccion de todos W_i vuelve a ser un subespacio de V.

Notación: C^\infty([a,b];R) := intersección de todos los C^k([a,b];R).

Ejemplo: la aplicación D que va de C^k([a,b];R) a C^{k-1}([a,b];R) definida por Df = f' (ie, derivar), es lineal. Además, D define una transformación lineal C^\infty([a,b];R) -> C^\infty([a,b];R), que seguiremos denotando por D (porque su definición sigue siendo 'tomar la derivarada'). Sea D^0 := id y defínase D^k := D^{k-1}@D para k ³1. Es fácil ver convencerse de que para cualesquiera elementos a_0, a_1, . . . , a_k en R, la transformación Z := a_0D^0 + a_1D^1 + a_2D^2 + . . . + a_kD^k está en End (C^\infty([a,b];R)) y en particular Ker Z e Im Z son subespacios de C^\infty([a,b];R).

Bases y generadores.
Definiciones:

Si S = {u_1, u_2, . . . , u_k} es un subconjunto de un espacio vectorial V sobre F, decimos que un vector v en V es una combinación lineal de los elementos de S si existen escalares x_1, x_2, . . . , x_k en F, tales que v = x_1u_1 + . . . + x_ku_k.

Sea S = {u_i | i en I } es un subconjunto (no necesariamente finito) de un espacio vectorial V sobre F. Decimos que un vector v en V es una combinación lineal de los elementos de S si hay un número finito de elementos u_{i_1}, . . . , u_{i_k} en S tales que v es una combinación lineal de ellos.

Sea S = {u_i | i en I } es un subconjunto (no necesariamente finito) de un espacio vectorial V sobre F. Decimos que S genera al espacio vectorial V si cada vector v de V es una combinación lineal de los elementos de S.

Sea S = {u_i | i en I } es un subconjunto (no necesariamente finito) de un espacio vectorial V sobre F. Decimos que S es un subconjunto linealmente independiente si la única forma de escribir al vector cero como combinación lineal de elementos de S es poniendo todos los escalares iguales a cero.

Proposición. Si S = {u_i | i en I } es un subconjunto linealmente independiente de un espacio vectorial V sobre F y el vector v de V es una combinación lineal de elementos de S, digamos v = x_{i_1}u_{i_1} + . . . + x_{i_k}u_{i_k}, entonces, los elementos u_{i_j} y los escalares x_{i_j} (1²j²k) que aparecen en esta expresión son únicos.

Sea S = {u_i | i en I } es un subconjunto (no necesariamente finito) de un espacio vectorial V sobre F. Decimos que S es una base de V si es linealmente independiente y genera a V.

Proposición. Todo espacio vectorial V sobre F tiene una base S. Además, si S y S' son bases de V, entonces existe una biyección entre S y S' (ie, todas las bases tienen la misma cardinalidad).

Bosquejo de la idea de la demostración: considerar un subconjunto maximal de vectores linealmente independientes y preguntarse si ese subconjunto genera o no. Si no genera, es porque no era maximal.

Definición: La dimensión de un espacio vectorial V es la cardinalidad de una (y en consecuencia, de cualquier) base de V.

Ejemplos en dimensión finita:

Lema. Si V es un espacio vectorial y {u_i | 1²i²n } y {v_j | 1²j²n } son bases distintas de V, entonces, existen únicos 2n^2 escalares g_{ij} y h_{kl} tales que, v_j = \sum_{i=1}^{i=n} g_{ij}u_i  y  v_l = \sum_{k=1}^{k=n} h_{kl}u_k. En particular, \sum_{j=1}{j=n} g_{ij}h_{jk} es igual a 1 si i=k y es igual a 0 en cualquier otro caso y similarmente, \sum_{l=1}{l=n} h_{kl}g_{lj} es igual a 1 si k=l y es igual a 0 en cualquier otro caso.

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Ejercicios varios para revisar con atención

1. Demostrar que { f en C^\infty[0,2¹] | f" + f = 0 } es un espacio vectorial de dimensión 2.

2. Demostrar que el anillo de polinomios F[x] en una indeterminada con coeficientes en el campo F, es un espacio vectorial sobre F de dimensión infinita. [Sugerencia: proporcionar una base obvia].


Considerar el espacio vectorial sobre los complejos, Mat_{2\times 2}(C), de las matrices de 2 por 2 con coeficientes en el campo de los números complejos.

3. Demostrar que los siguientes subconjuntos son bases: A = {u_i | 1²i²4 }, B = {v_i | 1²i²4 }, C = {w_i | 1²i²4 }, D = {t_i | 1²i²4 } , siendo

u_1 = \matrix { 1 & 0 \\ 0 & 1}
u_2 = \matrix { 0 & 1 \\ 1 & 0}
u_3 = \matrix { 0 & -1 \\ 1 & 0}
u_4 = \matrix { 1 & 0 \\ 0 & -1}

v_1 = \matrix { 1 & 0 \\ 0 & 0}
v_2 = \matrix { 0 & 1 \\ 0 & 0}
v_3 = \matrix { 0 & 0 \\ 1 & 0}
v_4 = \matrix { 0 & 0 \\ 0 & 1}

w_1 = \matrix { i & 0 \\ 0 & i}
w_2 = \matrix { 0 & i \\ i & 0}
w_3 = \matrix { 0 & 1 \\ -1 & 0}
w_4 = \matrix { i & 0 \\ 0 & -i}

t_1 = \matrix { 1 & 0 \\ 0 & 1}
t_2 = \matrix { 0 & 1 \\ 0 & 0}
t_3 = \matrix { 0 & 0 \\ 1 & 0}
t_4 = \matrix { 1 & 0 \\ 0 & -1}


4.a) Escribir a los elementos de A como combinaciones lineales de B (y determinar matriz g_{ij})
4.b) Escribir a los elementos de B como combinaciones lineales de A (y determinar matriz h_{kl})

4.c) Escribir a los elementos de A como combinaciones lineales de C (y determinar matriz correspondiente)
4.d) Escribir a los elementos de C como combinaciones lineales de A (y determinar matriz correspondiente)

4.e) Escribir a los elementos de B como combinaciones lineales de C (y determinar matriz correspondiente)
4.f) Escribir a los elementos de C como combinaciones lineales de B (y determinar matriz correspondiente)
4.g) Escribir a los elementos de D como combinaciones lineales de C (y determinar matriz correspondiente)
4.h) Escribir a los elementos de C como combinaciones lineales de D (y determinar matriz correspondiente)

4.i) Calcular los productos de las matrices g por h y h por g.
4.j) Hacer lo mismo para las matrices de los incisos c y d.
4.k) Hacer lo mismo para las matrices de los incisos e y f.
4.l) Hacer lo mismo para las matrices de los incisos g y h.

5. Considerar a Mat_{2\times 2}(C) como un espacio vecotrial sobre los números reales y exhibir una base para dicho espacio.

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Lo que en este curso llamaremos "el teorema fundamental del álgebra lineal" está contenido en los siguientes 7 incisos:
 
TEOREMA. Sea V un espacio vectorial sobre un campo F y sea {u_1, u_2, . . . , u_n} una base de V.

(1) Con esta base se establecen las siguientes biyecciones:

End(V) --> V^n=V\times V\times . . . \times V (n = dim V veces) --> Mat_{n\times n}(F)

de manera que T en End(V) da lugar a los n vectores ordenados (T(u_1), T(u_2), . . . , T(u_n)) y a la matriz T = (T_{ij}) definida por las combinaciones lineales T(u_j) = \sum_{i=1}^{i=n} T_{ij}u_i.

(2) Las biyecciones así establecidas son lineales con respecto a las obvias estructuras de espacio vectorial sobre F que End(V), V^n y Mat_{n\times n}(F) tienen.

Sea GL(V) = { g en End(V) | g es invertible }. Claramente GL(V) es un grupo.

(3) La base {u_1, u_2, . . . , u_n} de V hace que las biyecciones del inciso (1) den lugar a las siguientes biyecciones:

GL(V) --> Bases(V) --> GL_n(F),

siendo GL_n(F) el subconjunto de Mat_{n\times n}(F) que consiste de las matrices g=(g_{ij}) que tienen la propiedad de que existe otra matriz, h=(h_{kl}) tal que las sumas \sum_{j=1}^{j=n} g_{ij}h_{jk} y \sum_{j=1}^{j=n} h_{ij}g_{jk} son iguales a 1 si i=k e iguales a 0 si i ­k.

Observar que para las biyecciones del inciso (3) ya no tiene sentido decir que son lineales porque ninguno de los subconjuntos involucrados tiene estructura de espacio vectorial.

(4) Sea Q : End(V) --> Mat_{n\times n}(F) la biyección obtenida en el inciso (1) con la base {u_1, u_2, . . . , u_n}. Entonces,

Q(T@S) = Q(T)Q(S),

donde Q(T)Q(S) es el producto de matrices en Mat_{n\times n}(F).

(5) La base {u_1, u_2, . . . , u_n} de V define también una biyección lineal P : V --> F^{n\times 1} de tal manera que,

P(T(v)) = Q(T)P(v),

siendo Q(T)P(v) el elemento de F^{n\times 1}=Mat_{1\times n}(F) que resulta de multplicar la matriz Q(T) definida en el inciso (4) por la matriz P(v).

(6) Además de la base {u_1, u_2, . . . , u_n} de V, suponer que {v_1, v_2, . . . , v_n} es  otra base de V. Sean Q : End(V) --> Mat_{n\times n}(F) y Q' : End(V) --> Mat_{n\times n}(F) las biyecciones definidas por las bases {u_i} y {v_i}, respectivamente. Entonces, para una T en End(V) dada, se tiene que

Q(T) = Q(g)Q'(T)Q(g^{-1})

siendo g el elemento de GL(V) definido por la correspondencia g(u_j) = v_j = \sum_{i=1}^{i=n}g_{ij}u_i.

(7) Con las mismas hipótesis que en el inciso (6), denotemos por P : V --> F^{n\times 1} y P' : V --> F^{n\times 1} las biyecciones definidas en (5) por las bases {u_i} y {v_i}, respectivamente. Entonces, para un v en V dado, se tiene que

P(v) = Q(g)P'(v).


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Ejercicios varios para revisar con atención

Ejercicios 1, 2, . . . , 7. Demostrar con todo cuidado y con todo detalle los incisos (1), (2), . . . , (7) del teorema fundamental.

8. Sea W un espacio vectorial sobre los complejos de dimensión 2 y sea {e_1 , e_2} una base. Luego, End(W) es un espacio vectorial de dimensión 4 que es isomorfo al conjunto de matrices Mat_{2\times 2}(C). Considerar la base de Mat_{2\times 2}(C) dada por

Q(I) = \matrix { 1 & 0 \\ 0 & 1}
Q(E) = \matrix { 0 & 1 \\ 0 & 0}
Q(F) = \matrix { 0 & 0 \\ 1 & 0}
Q(H) = \matrix { 1 & 0 \\ 0 & -1}

Determinar las transformaciones lineales I, E, F, y H (esto es, decir qué vectores de W son I(e_1), I(e_2), E(e_1), etcétera).

9. Demostrar de primeros principios que si {I, E, F, H} son los elementos de End(W) del ejercicio anterior (ie, nos sabemos qué vectores son I(e_1), I(e_2), E(e_1), etcétera), entonces constituyen una base de End(W).

10. Con la base {I, E, F, H} de End(W) del ejercicio anterior, establecer explícitamente la correspondencia biyectiva entre End(End(W)) y Mat_{4\times 4}(C) y escribir las matrices de las cuatro transformaciones lineales a_I , a_E , a_F y a_H en End(End(W)) definidas por a_S(T) = S@T - T@S siendo T un elemento arbitrario de End(W) y S un elemento del conjunto {I, E, F, H}.

11. Con la notación e hipótesis de los ejercicios 8, 9 y 10, considerar la matriz Q(g) = \matrix { a & b \\ c & d} en Mat_{2\times 2}(C) y determinar la transformación lineal g en End(W) correspondiente (esto es, decir qué vectores de W son g(e_1) y g(e_2)) y expresar a g en términos de la base {I, E, F, H}.

12. Como en los ejercicios anteriores, suponer que Q(g) = \matrix { a & b \\ c & d} es tal que ad - bc ­ 0. Encontrar una tranfromación lineal h tal que g@h = id y h@g = id (esto es, con las propiedades demandadas de h -ser inversa de g- decir qué vectores de W son h(e_1) y h(e_2) ).

13. Demostrar que cada g en GL(W) define una transformación lineal A_g : End(W) --> End(W) mediante la correspondencia A_g(T) = g@T@g^{-1} siendo T un elemento arbitrario de End(W). Encontrar la matriz de 4\times 4 que le corresponde a esta transformación lineal con respecto a la base {I,E,F,H}.

14. Demostrar que si W es un espacio vectorial de dimensión 2 sobre los reales o sobre los complejos (realmente no importa) y {u_1,u_2} es una base, entonces los vectores
v_1 = au_1 + cu_2
v_2 = bu_1 + du_2
son linealmente independientes, si y sólo si ad - bc es diferente de cero.

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