Homotopía estable
Semestre Agosto-Diciembre 2026
Universidad de Guadalajara

Content

• Descripción del curso y prerrequisitos
• Sobre las clases
• Libros de texto
• Objetivos del curso

Descripción del curso y prerrequisitos

Homotopía estable es un curso de maestría y doctorado de topología algebraica. La topología algebraica es el estudio de fenómenos en matemáticas u otras disciplinas que se pueden reducir a problemas de deformación. De entre estos problemas de deformación, la homotopía estable estudia aquellos que son invariantes bajo la operación de suspensión o que se producen tras suspender una cantidad suficiente de veces. Ejemplos de estos son las teorías generalizadas de cohomología, los grupos de homotopía estable o la dualidad de Atiyah. En general, la homotopía estable usa diferentes tipos de objetos llamados espectros y una noción de homotopía adecuada, para modelar una categoría homotópica estable deseada.

En este curso comenzaremos viendo fenómenos estables en topología algebraica que motivaron el desarrollo de la homotopía estable. El primer modelo de categoría homotópica estable vendrá dado por la categoría de Spanier-Whitehead. Sus limitaciones nos llevarán a considerar los espectros secuenciales, con los cuales se pueden estudiar la mayoría de fenómenos "aditivos" estables. Sin embargo, la inclusión de teorías de cohomología multiplicativas, que se comportan como anillos en cierto sentido, y aquellas que se comportan como módulos, es complicada de formalizar con este lenguaje. Esto nos llevará a introducir espectros simétricos y ortogonales.

El estudio de espectros simétricos y ortogonales se llevará a cabo mediante el lenguaje de categorías de modelos. Para estos espectros, la definición del producto smash es natural y cumple propiedades deseables para un desarrollo formal de la teoría. En particular, permite una formalización agradable de espectros anillos y módulos. Los espectros anillos representan las teorías de cohomología multiplicativas, pero además nos permiten hablar de condiciones A infinito, E infinito, isomorfismos de Thom y orientaciones con respecto a teorías de cohomología. Se comentará también la relación de la orientabilidad con respecto a teorías de cohomología torcidas.

La construcción de espectros con propiedades adecuadas es una gran motivación del área, dado que estos espectros dan lugar a invariantes homotópicos que se pueden construir a medida para resolver problemas. En el curso se darán técnicas de construcción de espectros y principios de reconocimiento de espacios de lazos infinitos, que determinan espectros. Finalmente, los espectros ortogonales permitirán el desarrollo de espectros en el contexto equivariante, bajo acciones de grupos finitos y compactos de Lie. En la última parte del curso se dará una introducción a la homotopía estable equivariante, con generalizaciones de los conceptos no equivariantes introducidos hasta ese momento, y otras propiedades importantes propias del contexto equivariante como su conexión con los funtores de Mackey y los puntos fijos geométricos.

Los prerrequisitos son haber llevado cursos sobre teoría de homotopía a nivel superior. Es recomendable, pero no estrictamente necesario, manejar la teoría de categorías de modelos.

Para un temario más detallado, ver los objetivos del curso y el programa semanal.

Sobre las clases

• Profesor: José Cantarero
• Clases: TBA
• Oficina: 44 (CIMAT Mérida)
• Horas de oficina: Mediante cita previa
• Email: cantarero(arroba)cimat(punto)mx

Libros de texto

• Spectra and stable homotopy theory, de C. Malkiewich. Esta será la referencia principal.
• Stable homotopy and generalized homology, de J. F. Adams.
• Equivariant homotopy and cohomology theory, de J. P. May.
• Algebraic topology, homology and homotopy, de R. M. Switzer.
• Algebraic topology, de A. Hatcher.
• Model categories of diagram spectra, de M. A. Mandell, J. P. May, S. Schwede y B. Shipley.
• Symmetric spectra, de M. Hovey, B. Shipley y J. Smith.
• Foundations of stable homotopy theory, de D. Barnes y C. Roitzheim.
• Model categories, de M. Hovey.
• A concise course in algebraic topology, de J.P. May.
• More concise algebraic topology: localization, completion and model categories, de J.P. May y K. Ponto.
• Homotopy limits, completions and localizations, de A.K. Bousfield y D.M. Kan.
• Equivariant stable homotopy theory and the Kervaire invariant problem, de M. A. Hill, M. J. Hopkins y D. C. Ravenel.
• Prerequisites (on equivariant stable homotopy) for Carlsson's lecture, de J.F. Adams.
• Equivariant orthogonal spectra and S-modules, de M. A. Mandell y J. P. May.
• Complex cobordism and stable homotopy groups of spheres, de D. Ravenel.
• Rings, modules, and algebras in stable homotopy theory, de A. D. Elmendorf, I. Kris, M. A. Mandell y J. P. May, con un apéndice de M. Cole.
• Modern classical homotopy theory, de J. Strom.
• Characteristic classes, de J. Milnor y J. D. Stasheff.
• Twists of K-theory and TMF, M. Ando, A. J. Blumberg y D. Gepner.
• Parametrized homotopy theory, de J. P. May y J. Sigurdsson.
• Infinite loop spaces, de J. F. Adams.
• Categories and cohomology theories, de G. Segal.
• E infinity ring spaces and ring spectra, de J. P. May.
• The geometry of iterated loop spaces, de J. P. May.
• Generalized cohomology, de A. Kono y D. Tamaki.
• On Thom spectra, orientability and cobordism, de Y. B. Rudyak.
• Units of ring spectra, orientations and Thom spectra via rigid infinite loop space theory, de M. Ando, A. J. Blumberg, D. Gepner, M. J. Hopkins y C. Rezk.
• Algebraic topology, de E. H. Spanier.

Objetivos del curso

• Dar ejemplos de fenómenos estables en topología algebraica.
• Definir la categoría de Spanier-Whitehead y mostrar sus aplicaciones y limitaciones.
• Motivar la definición de espectro secuencial a partir del teorema de representación de Brown.
• Definir la categoría de espectros secuenciales.
• Construir la categoría homotópica estable.
• Ilustrar los conceptos de espectro suspensión, Omega-espectro y espectro CW.
• Exhibir la estructura de categoría triangulada en las diferentes construcciones de espectros.
• Definir teorías de homología y cohomología a partir de espectros.
• Explicar por qué los espectros no corresponden exactamente con teorías de cohomolog ía.
• Relacionar los espectros con los espacios de lazos infinitos.
• Construir espectros a partir de otros.
• Expresar fenómenos estables clásicos en términos de espectros.
• Describir objetos A infinito y E infinito.
• Definir versiones modernas de espectros, tales como simétricos, ortogonales, S-módulos.
• Traducir entre las diferentes versiones de espectros a nivel teórico y práctico.
• Ilustrar las ventajas y desventajas de los diferentes modelos de espectros, en particular respecto al producto smash.
• Describir espectros anillo y módulo y la filosofía de brave new algebra.
• Definir orientabilidad de una variedad respecto a una teoría de cohomología, y dar ejemplos de condiciones que implican la orientabilidad.
• Relacionar los conceptos de orientabilidad, isomorfismo de Thom, espectros de Thom y teorías de cohomología torcidas.
• Usar operads para reconocer estructuras sobre espacios y espectros.
• Construir espectros a partir de categorías, Gamma-espacios u otras herramientas combinatorias.
• Definir espectros equivariantes naive y genuinos.
• Traducir entre cohomología equivariante Z-graduada y RO(G)-graduada.
• Ilustrar las dificultades de la generalización de la homotopía estable al contexto equivariante.
• Describir el propósito de los puntos fijos homotópicos y geométricos.