Homología y cohomología
Semestre Enero-Junio 2026
Universidad de Guadalajara

Content

• Descripción del curso y prerrequisitos
• Sobre las clases
• Libros de texto
• Objetivos del curso

Descripción del curso y prerrequisitos

Homología y cohomología es un curso de maestría de topología algebraica. La topología algebraica estudia problemas que se pueden reducir a problemas expresados en téminos de deformaciones continuas, es decir, homotopía. Para ello se usan invariantes homotópicos, es decir, objetos algebraicos asociados a espacios topológicos que son invariantes bajo homotopía. En este curso nos concentraremos en espacios con una estructura de CW-complejo.

Comenzaremos con homología simplicial y singular. Estos invariantes nos proporcionan información sobre cada dimensión del espacio. Tras ver sus principales propiedades y métodos de cálculo, introduciremos homología celular y veremos que estos tres invariantes coinciden para CW-complejos. Finalmente veremos aplicaciones clásicas de la homología, como el teorema de la curva de Jordan, el teorema de invarianza de dominio y el teorema de la bola peluda.

Seguidamente estudiaremos homología con coeficientes y cohomología, que se pueden considerar como variantes de homología. Al igual que la homología, nos proporcionan información sobre cada dimensión del espacio, aunque en ocasiones nos proporcionan más información. Además, los grupos de cohomología juntos forman un anillo de cohomología que es un invariante homotópico diferente. Estudiaremos las propiedades que se siguen cumpliendo, su comportamiento respecto a productos y cómo calcular el anillo de cohomología en ciertos casos, así como aplicaciones. Si el tiempo lo permite, se tratará la dualidad de Poincaré y (co)homología con coeficientes locales.

Todos estos invariantes dependen de herramientas de álgebra homológica. También utilizaremos el lenguaje de categorías, funtores y transformaciones naturales en general. Como método de cálculo, usaremos sucesiones exactas. Finalmente, en la segunda parte del curso usaremos productos tensoriales y los funtores derivados Ext y Tor.

Los prerrequisitos para esta asignatura son haber llevado un curso de topología de conjuntos y un curso de teoría de grupos y anillos. Es recomendable, pero no necesario, conocer las nociones de homotopía, grupo fundamental, espacios recubridores, R-módulos, complejos de cadenas, homotopía y homología de complejos. Todas estas nociones recomendables se repasarán en el curso.

Para un temario más detallado, ver los objetivos del curso y el programa semanal.

Sobre las clases

• Profesor: José Cantarero
• Clases: Lunes 9-11 y Martes 9:30-11:30
• Oficina: 44 (CIMAT Mérida)
• Horas de oficina: Mediante cita previa
• Email: cantarero(arroba)cimat(punto)mx

Libros de texto

• Algebraic topology, de Allen Hatcher será el libro de texto principal. Este libro se puede descargar gratuitamente aquí
• A basic course in algebraic topology, de William S. Massey.
• A concise course in algebraic topology, de J. Peter May. Este libro se puede descargar gratuitamente aquí
• Algebraic topology, de Edwin Spanier.
• An introduction to homological algebra, de Joseph J. Rotman.
• An introduction to algebraic topology, de Joseph J. Rotman.
• Algebraic topology from a homotopical viewpoint, de Marcelo Aguilar, Samuel Gitler y Carlos Prieto.
• Algebraic topology, homology and homotopy, de Robert M. Switzer.

Evaluación

Se dará una lista de problemas cada dos semanas, que también estarán en la página web. Habrá un examen parcial el 26 de marzo y un examen final el TBA. Las tareas cuentan por el 50% de tu calificación final, el examen parcial por el 25 % y el examen final por el 25 %. Las tareas que se entreguen tarde no serán aceptadas. Puedes encontrar la lista completa de problemas (hasta el momento) aquí.

Objetivos del curso

• Ilustrar el concepto de Delta-complejo y dotar a espacios de estructuras de Delta-complejo.
• Definir y calcular los grupos de homología simplicial de un Delta-complejo.
• Definir los grupos de homología singular de un espacio topológico.
• Calcular los grupos de homología en dimensiones bajas usando componentes arcoconexas y la relación con el grupo fundamental.
• Justificar que los grupos de homología son funtoriales e invariantes homotópicos.
• Calcular los grupos de homología usando la sucesión exacta larga del par y la de Mayer-Vietoris.
• Calcular los grupos de homología y cohomología con coeficientes de CW-complejos usando sus versiones celulares.
• Usar el teorema de Künneth para calcular invariantes de productos.
• Calcular el anillo de cohomología de ciertos espacios topológicos.
• Enunciar y demostrar el teorema de Eilenberg-Zilber.
• Manipular anillos graduados de manera algebraica y sus presentaciones.
• Definir el producto tensorial de R-módulos y calcularlo para grupos abelianos y espacios vectoriales finitamente generados
• Calcular funtores derivados Tor y Ext para grupos abelianos finitamente generados
• Usar funtores derivados Tor y Ext para realizar cálculos en álgebra homológica.
• Usar los invariantes homotópicos estudiados en el curso para distinguir tipos de homotopía, así como clases de homotopía de funciones.
• Demostrar resultados clásicos en geometría usando invariantes homotópicos.
• Calcular homología y cohomología con coeficientes locales.
• Demostrar el teorema de dualidad de Poincaré y usarlo para calcular anillos de cohomología.
• Calcular grupos de homología y cohomología generalizada a partir de sus coeficientes.