Grupos de Lie: ago-dic 2007.

Contenido:

Bitácora

Fecha	Material	Tarea	Comentarios
13 agsto	Ejemplos de grupos de Lie: Rn, Tn, Gln(R), Gln(C), Gln(H), SLn, SOn, Un, ....
15 agsto	Motivacion: geometria y fisica. Definiciones: variedad diferencial, campo vectorial (=derivacion)	Demuestra que todo campo vectorial en R (=derivacion de C^\infty(R)) es de la forma a(x)d/dx
20 agsto	El espacio tangente en un punto de una variedad (derivaciones en un punto). Vectores tangentes como vectores de velocidad de curvas. Definicion de subvariedad y teorema de funcion implicita.	Demostrar que el espacio tangente en un punto de una variedad de dim=n es de dim=n. Demostrar que el espacio tangente en un punto consiste en vectores de velocidad de curvas en este punto. Expresar el vector de velocidad de una curva en un punto en terminos de las derivaciones con respectos a las coordenadas.	Notas para el curso - num. 1
22 agsto	La derivada de una funcion entre variedades el anillo de germenes de funciones en un punto de una variedad y sus derivaciones (otra definicion del espacio tangente). la identificacion canonica de todos los espacios tangentes de un abierto en un espcio euclideano con el espacio euclideano mismo. La aplicacion ndel teorema de funcion implicita a la demostracion que el espacio de las matrices ortogonales es un grupo de Lie.	Completar la demostracion de que el espacio de las matrices ortogonales es un grupo de Lie.
27 agsto	Subgrupos de un parametro, el exponencial de una matriz, campos vectoriales invariantes por la izquierda		Notas para el curso - num. 2
29 agsto	repaso de var diferenciales (cont.): campo vectorial invariante bajo un difeomorfismo; corchete de Lie de dos campos vectoriales; teorema de existencia y unicidad de soluciones de ODE (=curvas integrales de campos vectoriales). subgrupos de 1 parametro, campos invariantes por la izquierda. Ejemplos. La defincion del algebra de Lie.		notas num. 2 fueron revisadas.
3 sept	Ejemplo: difeomorfismos que preservan el campo de Euler, X=\sum x_i{\parcial\over\parcial x_i}. Teorema: biyeccion entre subrupos de 1 parametro, campos invaraintes por la izquierda, tangente en la identidad.
5 sept	Definion de accion de un grupo de Lie en una variedad, representacion lineal.
10 sept	Ejercicio: dos campos conmutan ssi sus flujos conmutan	Solucion del problema 2.12
12 sept	Mas sobre acciones de grupos y representaciones. Ejemplos. La accion de SO(3) en el espacio de funciones en la 2 esfera.		Notas para el curso - num. 3
17 sept	El grupo SO(3) y su algebra de Lie		Notas para el curso - num. 4
19 sept	Ejercicios 3.9 y 3.10. El grupo SU(2) y su algebra de Lie.
24 sept	El producto esclar SO(3)-invariante en el espacio de polinomios en R^3 El homomorfismo SU(2) --> SO(3) (la representacion adjunta de SU(2)).
26 sept	El producto esclar SO(3)-invariante en el espacio de polinomios en R^3 (cont.)	Favor de entregar el prox lunes (1 oct) los problemas de notas num 4.	Notas num. 5
1 oct	La descomposicion del espacio de polinomios homogeneos de grado m en R3 bajo SO(3).
22 oct	Clasificacion de las representaciones lineales de SU(2) y SO(3).		Notas num. 6
31 oct	Clasificacion de las representaciones lineales de SU(2) y SO(3).		Pueden usar esta referencia acerca de armonicos esfericos
5 nov	Teoria de caracteres de representaciones.		Notas num. 7
21 nov	Solucion de problemas de notas 6.	Temas de proyectos de alumnos para el fin del curso	Soluci'on (y correcci'on) de problema 6.13

• Hsiang W. Y., Lectures on lie groups .
  Breve, geometrico, despues de una introduccion general se concentra en grupos compactos (con buena razon).

• Helgason S., "Differential Geometry, Lie Groups and symmetric spaces".
  Una refrencia muy estandar, enciclopedico, algo tedioso.

• Adams J.F., "Lectures on Lie Groups ".
  Breve, buena introducci'on para grupos compactos.

• Serre, J.P., "Linear representacions of finite groups".

• Bryant R., An Introduction to Lie Groups and Symplectic Geometry.
  Buena introduccion y buenos ejercicios.

• Roger Howe, Very Basic Lie theory .
  Breve y elemental, facil de leer, pero no llega lejos.

• armónicos esféricos.
  extracto Notas de un libro Ruso (autor?) sobre grupos de Lie.

• pagina de un curso de grupos de Lie por Richard Montgomery

• notas de cursos de Sergei Tabachnicov. Checa las 1eras dos referencias.

• Un review, por A. Knapp, de dos libros de grupos de Lie. .