Teoría de Números

Descripción

En este curso veremos algunos temas de la teoría de números clásica que son fascinantes y a la vez relativamente elementales. Veremos la relación entre estos temas y la teoría de números moderna. Los prerequisitos son mínimos. El curso está dirigido a estudiantes de cuarto semestre en adelante.

Horario

Salón 4 del DEMAT. Martes y Jueves, 9:30 a 10:50.

Esquema de calificación

20 por ciento de 12 tareas y 80 por ciento de exámenes.

Las tareas se entregan en los primeros quince minutos de la clase del jueves. 20 por ciento de la calificación de cada tarea es de estilo: la tarea debe estar engrapada si cuenta con más de una hoja; debe ser legible; estar bien presentada y contener argumentos claros y breves.

Temario

  1. Breve repaso de la teoría de números elemental
    1. Divisibilidad
    2. Ideales
    3. Máximo común divisor
    4. Lema de Euler
    5. El Algoritmo de Euclides
    6. Elementos primos y elementos irreducibles
    7. Coprimalidad
    8. ord_p
    9. Congruencias
    10. Teorema chino del residuo
  2. Estructura multiplicativa modulo m
    1. La función phi de Euler
    2. Orden modulo m
    3. Raíces primitivas
  3. Reciprocidad cuadrática
    1. Residuos cuadráticos
    2. Raíces primitivas
    3. El símbolo de Legendre
    4. Ley de reciprocidad cuadrática
  4. Números p-ádicos
    1. Congruencias modulo p^m
    2. Valor absoluto p-ádico
    3. Convergencia
    4. Operaciones en QQ_p
    5. Convergencia de las series
    6. Enteros p-ádicos
    7. Lema de Hensel
    8. Ecuaciones diofantinas, El principio de Hasse
  5. Geometría de los números
    1. Teorema de Minkowski
    2. El teorema de los dos cuadrados
    3. Área de elipses y volumen de elipsoides
    4. Teorema de los cuatro cuadrados
  6. Introducción a la teoría de números algebraica
    1. Números algebraicos, enteros algebraicos
    2. Factorización única en campos de números algebraicos
    3. Ramificación y grado

Bibliografía

Tareas

Lecturas adicionales