Empecemos con una gráfica dirigida que forma un árbol (i.e. en cada nodo diferente de la raiz llega una flecha ).
Numeremos los nodos empezando con el raíz y bajando nivel por nivel hacia las hojas y
llamamos los precedentes de un nodo i todos los nodos j<i.
Una propiedad base es la que para un árbol dirigido dado, cualquier conjunto de distribuciones positivas P(Xi|Xpa(i)), define de una manera única la distribución conjunta:
Ejemplo: Tenemos una enfermedad E que es transmitible solamente por la línea masculina. La probabilidad de que se transmite de padre a hijo es 0.05. La probabilidad de desarrollar la enfermedad por otra fuente es 0.001; se supone que lo último ocurre independiente para cada individuo.
Llamamos si la persona tiene resp. no tiene la enfermedad. Para una familia con el siguiente árbol geneológico, tenemos que forma un árbol de Markov. Dejamos el cálculo de las probabilidades condicionales de un hijo dado su padre, como ejercicio.
No es sorprendente que el árbol va a reflejar mucho más independencias que las de forma (![[*]](/export/home/usuarios/horebeek/temp/latex2html/icons.gif/cross_ref_motif.gif){kind=icon}
).
Con ese fin definimos que dos conjuntos A, B de nodos son separados en una gráfica no dirigida, por un tercer C ssi no se puede caminar de un nodo de A a otro de B sin pasar por C.
Así, usando () se puede demostrar:
Hay que tener cuidado con la interpretación de . Si los conjuntos son separados, tenemos automáticamente independencia. Si no, existe al menos un miembro en la familia de distribuciones que son representados por el árbol, para lo cual XA y XB no son condicionalmente independiente.
Lo anterior permite definir un árbol de Markov de otra manera:
En la práctica, se requiere calcular las probabilidades marginales dada cierta información. Por ejemplo, dado que Geert no tiene E y Tom si, calcula la probabilidad que Hans la tiene,
P(X1=1 |X3=0, X4=1).
En teoría se pueden calcular estas probabilidades a partir de la distribución conjunta:
Sin embargo el número de elementos en las sumas ya no va a permitir un cálculo rápido (o factible).