Temario

1. Espacios topológicos y construcciones

1. Espacios métricos y espacios topológicos.
2. Abiertos, cerrados, interior, clausura y puntos de acumulación.
3. Vecindades, bases y subbases.
4. Funciones continuas y homeomorfismos.
5. Subespacios, productos y coproductos.
6. Espacios cociente y mapas cociente.
7. Propiedad universal del cociente y lema de pegado.
8. Conexidad, conexidad por caminos y componentes.
9. Conexidad local y conexidad local por caminos.
10. Compacidad, compacidad local y separación de Hausdorff.
11. Resultados básicos sobre compactos, proyecciones y cocientes Hausdorff.

2. Homotopía y complejos CW

1. La categoría de espacios topológicos y las propiedades universales.
2. Pullbacks, pushouts y espacios de adjunción.
3. Homotopías y homotopías relativas.
4. La categoría homotópica y las equivalencias homotópicas.
5. Retractos, retractos por deformación y espacios contráctiles.
6. Cilindros de mapeo, conos y suspensiones.
7. Propiedad de extensión de homotopías y cofibraciones.
8. Celdas, esqueletos y mapas de pegado.
9. Topología débil y finitud de clausura.
10. Subcomplejos, pares CW y ejemplos fundamentales.

3. Grupo fundamental

1. Caminos y homotopía relativa a los extremos.
2. Grupoide fundamental y grupo fundamental.
3. Cambio de punto base y functorialidad.
4. Cálculo del grupo fundamental del círculo.
5. Grupos libres y grupos fundamentales de gráficas.
6. Teorema de Seifert-van Kampen.
7. Adjunción de celdas y presentaciones de grupos.
8. Cálculos para productos, superficies y espacios proyectivos.

4. Espacios cubrientes

1. Definición y ejemplos.
2. Levantamiento y unicidad de caminos.
3. Levantamiento de homotopías.
4. Homomorfismo inducido por una proyección cubriente.
5. Monodromía y acciones sobre la fibra.
6. Transformaciones de cubierta y cubrientes regulares.
7. Clasificación de cubrientes mediante subgrupos del grupo fundamental.
8. Cubriente universal.
9. Cubrientes de círculos, gráficas, toros, espacios proyectivos y superficies.

5. Homología singular y relativa

1. Complejos de cadenas, ciclos, fronteras y homología.
2. Simplejos singulares y operador frontera.
3. Homología singular y homología reducida.
4. Cálculo de $H_0$ y relación entre $H_1$ y el grupo fundamental.
5. Mapas inducidos, functorialidad e invariancia homotópica.
6. Homología de pares y sucesión exacta larga.
7. Excisión.
8. Sucesión de Mayer-Vietoris.
9. Cálculos para esferas, discos, cuñas y suspensiones.

6. Homología celular y aplicaciones

1. Filtración esquelética de un complejo CW.
2. Complejo de cadenas celulares.
3. Grado y diferencial celular.
4. Homología de gráficas, superficies y espacios proyectivos.
5. Característica de Euler.
6. Aplicaciones a retracciones y distinción de espacios.

Bibliografía

• Referencias principales:

  • Glen E. Bredon, Topology and Geometry.
  • Allen Hatcher, Algebraic Topology.
  • Holger Kammeyer, Introduction to Algebraic Topology.

• Referencias adicionales:

  • J. Peter May, A Concise Course in Algebraic Topology.
  • Allen Hatcher, Notes on Introductory Point-Set Topology.
  • James R. Munkres, Topology.
  • Fidel Casarrubias Segura y Ángel Tamariz Mascarúa, Elementos de Topología de Conjuntos.
  • Tammo tom Dieck, Algebraic Topology.
  • James R. Munkres, Elements of Algebraic Topology.
  • Joseph J. Rotman, An Introduction to Algebraic Topology.