Teselaciones, retículas y polinomios en espacios lente

Resumen

Los espacios lente constituyen una familia clásica de 3-variedades cuya clasificación puede expresarse mediante una condición aritmética. A partir de un diagrama de Heegaard es posible asociarles una gráfica embebida en el toro y, al levantarla al plano, obtener una retícula periódica y una teselación que hacen visible parte de esa aritmética. En esta charla explicaré cómo el polinomio de Bollobás–Riordan de la gráfica conduce a problemas extremales sobre caminos, árboles de Steiner y soportes mínimos en la retícula. Mostraré algunos resultados estructurales que permiten traducir coeficientes del polinomio en información geométrica, así como la conjetura de que dicho polinomio distingue completamente los espacios lente. Buena parte de este recorrido se apoyó en herramientas de inteligencia artificial: para convertir construcciones abstractas en imágenes, programar y depurar experimentos y poner a prueba afirmaciones que inicialmente parecían evidentes. Comentaré qué aportaron realmente estas herramientas, qué errores ayudaron a detectar y por qué la verificación matemática sigue siendo indispensable.