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La probabilidad no conmutativa es un área de las
matemáticas desarrollada inicialmente en los 80´s por Hudson y Parthasaraty,
motivados por las ideas de Von Neumann para dar un marco adecuado a los
aspectos probabilísticos de la mecánica cuántica. También en esa década surgió la teoría de probabilidad libre de Voiculescu, la cual
comenzó como un intento para resolver problemas acerca de la estructura de las
álgebras de Von Neumann, hoy en día con numerosas relaciones con otras áreas de
la matemática, algunas de ellas inesperadas.
De particular
relevancia es la relación con la teoría
de matrices aleatorias de dimensión grande
estudiada en los 50’s en el contexto de física nuclear por Wigner, para las
cuáles Voiculescu también demostró que se comportan como variables aleatorias
libres. Igualmente importante es el enfoque de combinatoria para la
probabilidad libre desarrollado por Speicher.
Las matrices aleatorias
y la probabilidad libre son hoy en áreas de investigación más vigorosas,
activas y relevantes, como lo muestran el número creciente de conferencias
en estos temas, así como las aplicaciones en otras disciplinas como la comunicación
inalámbrica.
La probabilidad libre
considera el concepto de independencia libre, análogo -pero distinto- a la
noción de independencia en probabilidad clásica. Esto ha dado lugar al estudio
de otras nociones de independencia y sus interrelaciones en el marco de la
probabilidad no conmutativa (¡y solo existen cuatro tipos de independencia!).
De especial interés es
el estudio de relaciones entre probabilidad libre y probabilidad clásica a
través del tema de divisibilidad infinita asociada a estos tipos de
independencia y los correspondientes procesos estocásticos con incrementos
independientes (procesos de Lévy).
El marco básico para la
probabilidad no conmutativa permite que muchos objetos en matemáticas pueden
ser vistos como variables aleatorias en este contexto. Ejemplo de ellos son las
matrices y sus versiones aleatorias, permutaciones y representaciones, así como
el estudio espectral de gráficas.
Desde el año 2008 un
grupo de investigadores y estudiantes de CIMAT, la Universidad Autónoma de
Sinaloa y la Universidad de Guanajuato en México han trabajado en diversos
temas de probabilidad libre, divisibilidad infinita -aspectos analíticos y
combinatorios-, matrices aleatorias, procesos matriciales y sus valores
propios, modelos en comunicación inalámbrica, y
recientemente en probabilidad libre valuada en operadores y gráficas en un
contexto de probabilidad no conmutativa.
CIMAT
Universidad Autónoma de
Sinaloa
Jesús Armando Domínguez
Molina.
Alfonso Rocha Arteaga.
Universidad Autónoma de
Metropolitana – Azcapotzalco.
Francisco Torres Ayala.
Visitantes próximos y recientes
Mario Díaz Torres, Queens
University, Canadá. Septiembre 2014.
Takahiro Hasebe, Kyoto
University, Japón.
Noriyoshi Sakuma, Nagoya University of Education,
Japón. Octubre 2014.
Rahul Roy, Indian Statistical Institute, New
Delhi, India. Marzo 2014.
Steen Thorbjensen, Aarhus University, Dinamarca. Enero 2015.
Carlos Vargas Obieta, Saarlands University, Alemania.
Doctorado
Marco Tulio Gaxiola Leyva.
Paulo Cesar Manrique Mirón.
Erika Berenice Roldan Roa.
Maestría
Miguel Ángel Pluma Rodríguez.
Licenciatura
Ex estudiantes
Seminario de Gráficas,
regularmente todos martes a las 16 horas, Salón Diego Bricio Hernández, CIMAT,
Guanajuato.
Seminario
Interinstitucional de Matrices Aleatorias (anual).
Mini curso Random
Combinatorial Complexes, dentro de la Escuela de Análisis
Topológico de Datos y Topología Estocástica, 19 al 23 de enero de
2015.
Curso bianual de Matrices Aleatorias de licenciatura y
posgrado.
Las siguientes son
algunas de las tesis que se han o están realizado sobre probabilidad libre, matrices
aleatorias y probabilidad no conmutativa en México.
DOCTORADO
Centro de Investigación
en Matemáticas, CIMAT.
1.
Marco Tulio Gaxiola
Leyva. (Director: Octavio Arizmendi), en proceso.
2. Singularidad de
matrices aleatorias.
Paulo Cesar Manrique Mirón. (Director Víctor Pérez Abreu), en proceso.
3. Topics
on Statistical Methods for Data with High Dimension Greater than the Sample
Size.
Addy Margarita Bolívar Cimé. (Director Victor Pérez Abreu), 2011.
MAESTRÍA
Centro de Investigación
en Matemáticas, CIMAT.
1. Polinomios ortogonales,
gráficas y probabilidad no conmutativa
Marco Tulio Gaxiola
Leyva. (Director Octavio Arizmendi Echegaray), 2014.
2. Análisis del espectro asintótico de
canales multiantena vía probabilidad libre.
Mario Alberto Díaz Torres. (Director Víctor Pérez Abreu), 2013.
3. Sobre Aproximaciones
Gaussianas a las Matrices Aleatorias con Distribución de Haar.
Dialid Santiago Ramírez. (Director Víctor Pérez Abreu), 2011.
4. El Proceso de
Wishart y la Dinámica de sus Eigenvalores y Propiedades Distribuciones vía
Cálculo Estocástico.
Eduardo Trujillo Rivera. (Director Víctor Pérez Abreu), 2011.
LICENCIATURA
Universidad Autónoma de
Sinaloa.
1. Concentración
de Medidas de Probabilidad.
Marco Tulio Gaxiola
Leyva. (Director Armando Domínguez Molina), 2012
2. Una
Demostración del Teorema de Wigner para Matrices Aleatorias.
Ana Marlene López
Ramos. (Director Armando Domínguez Molina), 2011.
Universidad de
Guadalajara.
Mario Alberto Díaz
Torres. (Director Víctor Pérez Abreu), 2011.
Universidad Nacional
Autónoma de México.
4. Matrices
Aleatorias y Funciones L.
Julio César Galindo López.
(Director Eduardo Dueñez), 2013.
Universidad de
Guanajuato.
5. Relaciones entre probabilidad libre
y representaciones de grupos simétricos.
Carlos
Vargas Obieta. (Director Víctor Pérez Abreu), 2009.
6. Divisibilidad
infinita libre de medidas de probabilidad.
Octavio Arizmendi
Echegaray.
(Director Víctor Pérez Abreu), 2008
Publicaciones en
diversos temas de matrices aleatorias, probabilidad libre y temas relacionados
Armando Domínguez
Molina
Alfonso Rocha Arteaga