When, as a result of an experiment or numerical simulation, we have a time-dependant signal χ(t) — called a time series — one of the essential task is to determine the kind of evolution that produced it.
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Los textos principales que voy a seguir son los siguientes:
Las referencias:
Algunas ligas interesantes:
Nota biográfica de l'Académie française ©, 2011:
Mi nota biográfica aderesada con palabras de S. K. Godunov (Godunov, 1984):
Jean Baptiste Joseph Fourier nació en Auxerre (departamento de l'Yonne, región de Bourgogne), a 164 km al sureste de Paris, el 21 de marzo de 1768. Su fama se debe a su teoría matemática de la conducción del calor, una teoría que involucra expansiones de funciones arbitrarias en ciertos tipos de series trigonométricas. Aunque tales expansiones ya habían sido investigadas anteriormente, llevan su nombre gracias a que él hizo las mayores contribuciones en el área. Las series de Fourier son ahora herramientas fundamentales en la ciencia.
La vida de Fourier fue variada y difícil por momentos. Huérfano a los 9 años, se llegó a interesar en las matemáticas en una escuela militar administrada por benedictinos en Auxerre. Fue un activista de la Revolución y, gracias a la caída del poder de Robespierre, se salvó de ser guillotinado. Después de la Revolución, Fourier acompañó a Napoleón a Egipto, a fin de establecer una institución educativa en los territorios conquistados recientemente. Al poco tiempo de que los franceses se retiraron en 1801, Napoleón eligió a Fourier prefecto de Isère, un departamento en el sur de Francia, con cabecera en Grenoble.
Fue en Grenoble en donde Fourier llevó al cabo su trabajo científico más importante. Dado que su vida profesional fue casi igualmente dividida entre la política y la ciencia, y que fue íntimamente ligada a la Revolución y Napoleón, sus avances en la frontera de las ciencias matemáticas son bastante considerables.
Los años finales de Fourier los pasó en Paris, donde fue Secretario de la Académie des sciences y sucedió a Laplace como presidente del Consejo de l'École Polytechnique. Murió a la edad de 62 años el 16 de mayo de 1830, el mismo año en que nace Porfirio Díaz.
El método de Fourier es muy común (pero no exhaustivo) en la resolución de ecuaciones en derivadas parciales que, por desgracia, no es universal. Se puede aplicar únicamente a las ecuaciones lineales de un tipo especial, para las cuales sea posible hallar un conjunto suficientemente rico de soluciones particulares. Las combinaciones lineales de estas soluciones se emplean para aproximar una solución más o menos arbitraria. El método surgió ya en el siglo XVIII, en el estudio de la ecuación que describe las oscilaciones de una cuerda.
Al estudiar la ecuación de las oscilaciones en la cuerda, d'Alembert mostró en 1747 que su solución general es la superposición de dos funciones. En una dimensión espacial dichas funciones representan los viajes a la derecha e izquierda de dos pulsos de forma arbitraria que se forman a partir de una configuración o forma inicial de la cuerda (condición inicial).
En 1748, Euler expresó a dichas funciones mediante un promedio de la configuración inicial de la cuerda y su velocidad inicial, que ahora comúnmente llamamos fórmula de d'Alembert. Euler observó que, por el significado físico del problema, los datos iniciales (posición y velocidad) tenían que ser, necesariamente, funciones analíticas del espacio y el tiempo.
En 1753, Daniel Bernoulli, partiendo de consideraciones totalmente distintas, llegó a la conclusión que las soluciones generales posibles de la ecuación de la cuerda deben ser de la forma de una serie trigonométrica; es decir, combinaciones lineales de ondas estacionarias. Euler mismo estuvo en desacuerdo, pues dudaba de la posibilidad de representar una función arbitraria de tal forma.
En 1759, Lagrange, al estudiar las oscilaciones ya no de una cuerda sino de un modelo que la aproximaba: un hilo de cuentas ensartadas en él, y efectuando luego el paso al límite (cuando el número de cuentas es infinito, límite continuo), confirmó los resultados de Euler por una parte y, por otra, obtuvo resultados próximos a los de Bernoulli. Sin embargo, la gran cantidad de pasos al límite — que en aquel tiempo, por supuesto, no podían efectuarse con el más mínimo rigor — inclinó a d'Alembert a estar en desacuerdo con el análisis dado por Lagrange.
Fue recién en 1807 que Fourier enunció el teorema de que una función totalmente arbitraria puede ser representada por una serie trigonométrica. Por extraño que parezca, las objeciones más categóricas contra el teorema salieron del propio Lagrange, a pesar de que sus fórmulas casi coincidieron con las que expresan los coeficientes de la serie trigonométrica de Fourier.
El teorema de Fourier fue demostrado en 1829 por Dirichlet, pero imponiendo condiciones bastante rigurosas sobre la función a desarrollar; estas condiciones llevan hoy su nombre.
En 1853, Riemann, al estudiar las condiciones bajo las cuales una función puede ser representada mediante una serie trigonométrica, llegó, en particular, a su conocida definición de la integral. El capítulo preliminar de su trabajo contiene una exposición muy interesante del problema (en el espíritu del relato histórico anterior). El trabajo se llama "Acerca de la posibilidad de representar una función mediante una serie trigonométrica".
Fuentes:
Una de las placas sobre la calle que lleva su nombre, en la pequeña Auxerre, al sureste de Paris.
Aquí yacen los restos de Fourier en el Cementerio Père-Lachaise en Paris.
