Álgebra Conmutativa y Geometría Algebraica
[MB-24AlgebraConmutativaYGeometriaAlgebraica]
Análisis
En análisis estudiamos, de forma cuantitativa y cualitativa, espacios de funciones, sus estructuras métricas o topológicas y las transformaciones que actúan sobre ellos. Actualmente conecta de manera natural con la geometría, la teoría de operadores, las ecuaciones diferenciales, la física matemática, los sistemas dinámicos y la probabilidad. En Cimat, nuestro grupo de análisis es diverso y se puede encontrar una rica variedad de líneas de investigación:
Análisis funcional y geometría en espacios de Banach: Exploramos transformaciones polinómicas, multilineales y Lipschitz entre espacios de Banach y su relación con la geometría convexa y la estructura de los espacios de funciones.
Operadores y análisis complejo e hipercomplejo: Estudiamos operadores en espacios de funciones empleando teoría de operadores, C*-álgebras y álgebras de von Neumann, representaciones de grupos, análisis cuaterniónico, geometría diferencial y grupos de Lie.
Física matemática: Investigamos propiedades matemáticas de varios espacios de Hilbert, como el espacio de Segal-Bargmann y los espacios con núcleo reproductor, en relación con la mecánica cuántica usando métodos de análisis funcional. También, estudiamos operadores de Toeplitz que dan un tipo de cuantización. Resulta que la geometría diferencial tiene una generalización que se llama geometría cuántica (o no conmutativa) que usamos para estudiar los operadores de Dunkl que surgieron en el análisis armónico. Otros intereses son canales cuánticos y la axiomatización de la mecánica cuántica y su relación con la probabilidad cuántica.
Análisis de ecuaciones diferenciales: Abordamos cuestiones de regularidad y propiedades cualitativas en ecuaciones elípticas, parabólicas y no locales, así como sus vínculos con problemas en geometría, probabilidad y sistemas dinámicos.
Teoría de punto fijo: La teoría de punto fijo es una herramienta fundamental para demostrar la existencia de soluciones a diversos problemas y ecuaciones, y encuentra aplicaciones importantes en optimización.
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Post-Doctorantes
Ecuaciones Diferenciales Parciales
En el grupo de ecuaciones en derivadas parciales del Cimat estudiamos tanto aspectos teóricos como aplicados del área. Por un lado, investigamos problemas elípticos no lineales con parámetros, el control de sistemas multiparamétricos mediante técnicas de integrabilidad y la estabilidad de sistemas mecánicos descritos por operadores en espacios con métrica indefinida. Por otro lado, desarrollamos herramientas de teoría de la regularidad para problemas elípticos y parabólicos, tanto locales como no locales, incluyendo modelos degenerados y problemas de frontera libre. Estas líneas de investigación conectan con problemas de geometría diferencial, mecánica de fluidos, teoría de control y modelos de transporte y congestión.
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Post-Doctorantes
Geometría Diferencial
Trabajamos en diversas áreas de la geometría diferencial. Estudiamos estructuras geométricas en variedades diferenciables, así como los grupos de transformaciones que preservan dichas estructuras. Empleamos técnicas y resultados de análisis geométrico, análisis topológico, geometría y topología simpléctica, análisis funcional, ecuaciones diferenciales, teoría de Lie y álgebras no asociativas, entre otras, así como una variada gama de generalizaciones de dichas técnicas. Los principales resultados obtenidos establecen conexiones entre la geometría —en sus diferentes modalidades (riemanniana, simpléctica, espinorial, etc.)—, y la topología, y el análisis, y el álgebra, entre otras.
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Post-Doctorantes
Sistemas Dinámicos
A grandes rasgos, en Sistemas Dinámicos estudiamos el comportamiento a largo plazo de sistemas evolutivos, por lo que sus orígenes y sus aplicaciones se vinculan en diversas ramas de las ciencias naturales. Desde la visión de las matemáticas puras, los Sistemas Dinámicos buscan entender la estructura global de aplicaciones y flujos que pueden ser reales o complejos. Esta área tiene una relación muy estrecha con diversas áreas de las matemáticas (por ejemplo, Análisis, Topología, Geometría, Probabilidad y Teoría de Números) y esta relación es biyectiva: toma herramientas y regresa aplicaciones. Las líneas que más cultivamos en Cimat son la Dinámica Holomorfa (sobre los números complejos o sobre campos no arquimedianos) y los Sistemas Conservativos (tanto en su versión abstracta, como en los concretos que surgen al estudiar la Mecánica Celeste).
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Post-Doctorantes
Topología
La topología es el área de las matemáticas que estudia las formas y espacios bajo deformaciones continuas. El típico ejemplo es el de una taza de café que se deforma continuamente en una dona. La forma abstracta de estos objetos es llamada espacio topológico.
La estructura topológica se encuentra presente en muchos objetos matemáticos más complejos, como las variedades diferenciables, los espacios métricos, las variedades algebraicas y demás. Al enfocarse en estudiar únicamente su parte topológica, se reconocen patrones ocultos que luego se sintetizan en los llamados invariantes topológicos y homotópicos. Estas estructuras también aparecen en problemas de otras ciencias que se pueden interpretar geométricamente. Es por ello que la topología es relevante para muchas ramas de las matemáticas y otras disciplinas, tales como el análisis de datos, la física, la biología, entre otras.
Los integrantes de nuestro grupo de topología se encuentran en las Unidades Guanajuato y Mérida, y trabajamos actualmente en las siguientes ramas:
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